《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·宜昌调考]下列说法错误的是(A)

A.在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理求解三角形
B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C.利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题
D.在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例

答案： 1.A【解析】已知两边及其一边的对角，可用余弦定理先解得另一边，从而求解三角形，A错误.故选A.

2. [2024·武汉一中月考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a² = b² - c² + √2ac，则角B = (A)

A.45°
B.60°
C.90°
D.135°

答案： 2.A【解析】由余弦定理的推论，得$\cos B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}$，由已知可得$c^{2}+a^{2}-b^{2}=\sqrt{2}ac$，所以$\cos B=\frac{\sqrt{2}ac}{2ca}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$0°＜B＜180°$，所以$B=45°$.

3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a = 2，则bcosC + ccosB = (C)

A.1
B.√3
C.2
D.3

答案： 3.C【解析】因为$a=2$，所以$b\cos C+c\cos B=b·\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+c·\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}=\frac{2a^{2}}{2a}=2$.故选C.

4. [2024·黄冈中学期中]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a = 3√3，c = 2，A + C = 5π/6，则b = (A)

A.√13
B.6
C.7
D.8

答案： 4.A【解析】因为$A+C=\frac{5\pi}{6}$，所以$B-\pi-(A+C)=\frac{\pi}{6}$因为$a=3\sqrt{3},c=2$，所以由余弦定理可得$b=\sqrt{c^{2}+a^{2}-2ca\cos B}=\sqrt{2^{2}+(3\sqrt{3})^{2}-2×2×3\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{13}$.故选A.

5. [2024·常州二中月考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b = 3，c = 2，cosA = 1/3，则a = 3.

答案： 5.3【解析】由余弦定理可得$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=9+4-2×3×2×\frac{1}{3}=9$，解得$a=3$.

6. 在△ABC中，若cosC/2 = √5/5，BC = 1，AC = 5，则AB = 4√2.

答案： 6.$4\sqrt{2}$【解析】$\cos C=2\cos^{2}\frac{C}{2}-1=-\frac{3}{5}$，因为$BC=1$，$AC=5$，且$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC· AC·\cos C$，代入得$AB^{2}=1^{2}+5^{2}-2×1×5×(-\frac{3}{5})=32$，所以$AB=4\sqrt{2}$.

7. [2024·福州调考]在△ABC中，内角C为钝角，sinC = 3/5，AC = 5，AB = 3√5，则BC = (A)

A.2
B.3
C.5
D.10

答案： 7.A【解析】由题意得$\cos C=-\sqrt{1-\sin^{2}C}=-\frac{4}{5}$，再由余弦定理的推论，得$-\frac{4}{5}=\frac{5^{2}+BC^{2}-(3\sqrt{5})^{2}}{2×5× BC}$，解得$BC=2$(负值舍去).故选A.

8. [2024·扬州中学周练]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a = 8，b = 7，B = 60°，则c = (D)

A.3
B.5
C.6
D.3或5

答案： 8.D【解析】由余弦定理$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos B$及已知条件，得$7^{2}=c^{2}+8^{2}-2× c×8\cos60°$，整理得$c^{2}-8c+15=0$，解得$c=3$或$c=5$，经检验$c=3$或$c=5$都符合，所以三角形有两解.故选D.

9. [2024·淮北一中月考]在△ABC中，a = 2√3，b = 6，A = 30°，则边长c = 2√3或4√3.

答案： 9.$2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}$【解析】因为$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，所以$(2\sqrt{3})^{2}=6^{2}+c^{2}-2×6× c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$c=2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}$，经检验$c=2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}$都符合.

10. [2024·哈尔滨三中月考]边长分别为1，√5，2√2的三角形的最大角与最小角的和是(C)

A.90°
B.120°
C.135°
D.150°

答案： 10.C【解析】由题意可得，边长为$\sqrt{5}$的边对的角不是最大角，也不是最小角，设此角为$\theta$，则由余弦定理可得$\cos\theta=\frac{1+8-5}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.因为$0°＜\theta＜180°$，所以$\theta=45°$，故该三角形的最大角与最小角的和是$180°-45°=135°$.故选C.

11. [2024·西安铁一中期中]如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(D)

A.5/18
B.3/4
C.√3/2
D.7/8

答案： 11.D【解析】设等腰三角形的底边长为$a$，则周长为$5a$，等腰三角形的腰长为$2a$.设顶角为$\alpha$，由余弦定理的推论，得$\cos\alpha=\frac{(2a)^{2}+(2a)^{2}-a^{2}}{2×2a×2a}=\frac{7}{8}$.

12. [2024·兰州一中期末]在△ABC中，a = b + 2，b = c + 2，最大角的正弦值等于√3/2，则三边长分别为3,5,7.

答案： 12.3,5,7【解析】因为$a-b=2,b-c=2$，所以$a＞b＞c$，所以最大角为A.因为$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$A=\frac{\pi}{3}$或$\frac{2\pi}{3}$.因为$A＞B＞C$，所以$A=\frac{2\pi}{3}$.所以$\cos A=-\frac{1}{2}$.设$c=x(x＞0)$，则$b=x+2,a=x+4$，由$b+c＞a$得$x＞2$.由余弦定理的推论，得$\cos A=\frac{x^{2}+(x+2)^{2}-(x+4)^{2}}{2x(x+2)}=-\frac{1}{2}$.又因为$x＞2$，所以$x=3$，所以三边长为3,5,7.

13. [2024·荆州中学期末]在△ABC中，已知a : b : c = 2 : √6 : (√3 + 1)，求角A，B，C.

答案： 13.因为$a:b:c=2:\sqrt{6}:(\sqrt{3}+1)$，令$a=2k,b=\sqrt{6}k,c=(\sqrt{3}+1)k,k＞0$，由余弦定理的推论，得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{6k^{2}+(\sqrt{3}+1)^{2}k^{2}-4k^{2}}{2×\sqrt{6}k×(\sqrt{3}+1)k}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$A=45°$，
$\cos B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}=\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}k^{2}+4k^{2}-6k^{2}}{2×(\sqrt{3}+1)k×2k}=\frac{1}{2}$，所以$B=60°$，从而$C=180°-45°-60°=75°$.故角A，B，C分别为$45°,60°,75°$.