《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·安庆一中月考]从空间一点 $ P $ 向二面角 $ \alpha - l - \beta $ 的两个面 $ \alpha,\beta $ 分别作垂线 $ PE $，$ PF $，$ E,F $ 为垂足. 若 $ \angle EPF = 60^{\circ} $，则二面角的平面角的大小是(C)

A.$ 60^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $或 $ 120^{\circ} $
D.不确定

答案： 1.C　[解析]若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°;若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.

2. [2024·曲阜一中月考](多选)下列说法中正确的有(BD)

A.两个相交平面组成的图形叫做二面角
B.异面直线 $ a,b $ 分别和一个二面角的两个半平面垂直，则 $ a,b $ 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补
C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成角的最小角
D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系

答案： 2.BD　[解析]由二面角的定义，可知A,C错误，D正确.由a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直，知a,b都垂直于该二面角的棱.过棱上一点可分别作a,b的平行线，分析知B也正确,故选BD.

3. [2024·许昌高中月考]在四面体 $ A - BCD $ 中，$ AB = BC = CD = AD $，$ \angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ} $，二面角 $ A - BD - C $ 为直二面角，$ E $ 是 $ CD $ 的中点，则 $ \angle AED $ 的大小为(B)

A.$ 45^{\circ} $
B.$ 90^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 30^{\circ} $

答案：
3.B　[解析]如图,设AB = BC = CD = AD = a,取BD的中点F,连接AF，CF,则由题意可得AF⊥BD,CF⊥BD,所以∠CFA为二面角A−BD−C的平面角，且∠CFA = 90°,AF = CF = $\frac{\sqrt{2}}{2}$a.在Rt△AFC中，易得AC = a,所以△ACD为正三角形.又因为E是CD的中点，所以AE⊥CD，即∠AED = 90°.
　　　　　　　　　　　　　　　　

4. [2024·晋城二中月考]已知 $ m,n $ 是两条不同的直线，$ \alpha $ 和 $ \beta $ 是两个不同的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 $ \alpha \perp \beta $ 的是(C)

A.$ m \perp n,m // \alpha,n // \beta $
B.$ m \perp n,\alpha \cap \beta = m,n \subset \beta $
C.$ m // n,n \perp \beta,m \subset \alpha $
D.$ m // n,m \perp \alpha,n \perp \beta $

答案： 4.C　[解析]A中,α也可能与β平行;B中,不一定α⊥β;C中,因为m//n,n⊥β,所以m⊥β,又m⊂α,所以α⊥β;D中,易得α//β.故选C.

5. [2024·驻马店一中月考]在正四面体 $ P - ABC $ 中，$ D,E,F $ 分别是 $ AB,BC,CA $ 的中点，下面四个结论中不成立的是(D)

A.$ BC // $ 平面 $ PDF $
B.$ DF \perp $ 平面 $ PAE $
C.平面 $ PAE \perp $ 平面 $ ABC $
D.平面 $ PDE \perp $ 平面 $ ABC $

答案：
5.D　[解析]如图，由题意得BC//DF，所以BC//平面PDF.由正四面体性质知BC⊥PE,BC⊥AE,所以BC⊥平面PAE,所以DF⊥平面PAE,平面PAE⊥平面ABC.
　　　　　　　　

6. (多选)如图，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，$ AD:BC:AB = 2:3:4 $，$ E $，$ F $ 分别是 $ AB,CD $ 的中点，将四边形 $ ADFE $ 沿直线 $ EF $ 进行翻折，则在翻折过程中，可能成立的结论有(BC)

A.$ DF \perp BC $
B.$ BD \perp FC $
C.平面 $ BDF \perp $ 平面 $ BCF $
D.平面 $ CDF \perp $ 平面 $ BCF $

答案： 6.BC　[解析]对于A,因为BC//AD,AD与DF相交且不垂直，所以BC与DF不垂直，故A错误;对于B,设点D在平面BCF上的射影为点P,若BP⊥FC,则BD⊥FC，而AD:BC:AB = 2:3:4可使BP⊥FC,故B正确;对于C,当点P落在BF上时，DP⊥平面BCF，DP⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCF，故C正确;对于D,因为点D的射影不可能在FC上,所以平面CDF⊥平面BCF不成立，即D错误.故选BC.

7. [2024·长治二中月考]若平面 $ \alpha \perp $ 平面 $ \beta $，平面 $ \beta \perp $ 平面 $ \gamma $，则(D)

A.$ \alpha // \gamma $
B.$ \alpha \perp \gamma $
C.$ \alpha $ 与 $ \gamma $ 相交但不垂直
D.以上都有可能

答案： 7.D　[解析]以正方体为模型:相邻两侧面都与底面垂直;相对的两侧面都与底面垂直;一侧面和一对角面都与底面垂直.故选D.

8. [2024·沈阳一中期末](多选)如图，在三棱锥 $ P - ABC $ 中，能推出 $ AP \perp BC $ 的条件有(BCD)

A.$ AP \perp PB,BC \perp PB $
B.$ AP \perp PB,AP \perp PC $
C.平面 $ BCP \perp $ 平面 $ PAC,BC \perp PC $
D.$ AP \perp $ 平面 $ PBC $

答案： 8.BCD[解析]对于A,明显不能推出AP⊥BC，故A错误;对于B,因为PB∩PC = P,PB,PC⊂平面PBC,所以AP⊥平面PBC,所以AP⊥BC,故B正确;对于C,因为平面BCP∩平面PAC = PC,BC⊥PC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AP，故C正确;对于D,因为AP⊥平面PBC,所以AP⊥BC,故D正确.故选BCD.