《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

18. [2024·江苏启东中学期中]（17 分）若 $ z \in \mathbf{C} $，$ 4z + 2\overline{z} = 3\sqrt{3} + i $，$ \omega = \sin\theta - i\cos\theta $（$\theta$ 为实数），$i$ 为虚数单位.
（1）求复数 $ z $；
（2）求 $ |z - \omega| $ 的取值范围.

答案： 18.
(1)设$z=a + bi(a,b\inR)$，则$\overline{z}=a - bi$，
所以$4(a + bi)+2(a - bi)=3\sqrt{3}+i$，即$6a + 2bi=3\sqrt{3}+i$，所以$\begin{cases}6a=3\sqrt{3},\\2b = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{\sqrt{3}}{2},\\b=\frac{1}{2}\end{cases}$
所以$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$.
(2)$|z-\omega|=\left|\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i-(\sin\theta-i\cos\theta)\right|$
$=\left|\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin\theta\right)+\left(\frac{1}{2}+\cos\theta\right)i\right|$
$=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin\theta\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}+\cos\theta\right)^{2}}$
$=\sqrt{2-\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta}$
$=\sqrt{2-2\sin(\theta-\frac{\pi}{6})}$.
因为$-1\leqslant\sin(\theta-\frac{\pi}{6})\leqslant1$，所以$0\leqslant2-2\sin(\theta-\frac{\pi}{6})\leqslant4$，所以$0\leqslant|z-\omega|\leqslant2$，故$|z-\omega|$的取值范围是$[0,2]$.

19. [2024·宁波镇海中学期末]（17 分）对于一组复数 $ z_{1}, z_{2}, z_{3}, ·s, z_{n}(n \in \mathbf{N}, n \geqslant 3) $，令 $ S_{n} = z_{1} + z_{2} + z_{3} + ·s + z_{n} $，如果存在 $ z_{p}(p \in \{1, 2, 3, ·s, n\}) $，使得 $ |z_{p}| \geqslant |S_{n} - z_{p}| $，那么 $ z_{p} $ 是该复数组的“$ M $ 复数”.
（1）设 $ z_{n} = n + (n - x)i(n \in \{1, 2, 3\}) $，若 $ z_{3} $ 是复数组 $ z_{1}, z_{2}, z_{3} $ 的“$ M $ 复数”，求实数 $ x $ 的取值范围.
（2）已知 $ z_{1} = i $，$ z_{2} = 1 + i $，是否存在复数 $ z_{3} $ 使得 $ z_{1}, z_{2}, z_{3} $ 均是复数组 $ z_{1}, z_{2}, z_{3} $ 的“$ M $ 复数”？若存在，求出所有的 $ z_{3} $；若不存在，请说明理由.

答案： 19.
(1)$z_{1}=1+(1 - x)i，z_{2}=2+(2 - x)i$，$z_{3}=3+(3 - x)i$.
因为$z_{3}$是复数组$z_{1}，z_{2}，z_{3}$的“$M$复数”，所以$|z_{3}|\geqslant|S_{3}-z_{3}|=|z_{1}+z_{2}|$，因为$z_{1}+z_{2}=1+(1 - x)i+2+(2 - x)i=3+(3 - 2x)i$，
所以$\sqrt{3^{2}+(3 - x)^{2}}\geqslant\sqrt{3^{2}+(3 - 2x)^{2}}$，
化简得$x(x - 2)\leqslant0$，所以$0\leqslant x\leqslant2$.
(2)存在.理由如下：
若$z_{1}，z_{2}，z_{3}$均是复数组$z_{1}，z_{2}，z_{3}$的“$M$复数”，则$\begin{cases}|z_{1}|\geqslant|z_{2}+z_{3}|,\\|z_{2}|\geqslant|z_{1}+z_{3}|,\\|z_{3}|\geqslant|z_{1}+z_{2}|.\end{cases}$
设$z_{k}=x_{k}+y_{k}i，k = 1,2,3$，
则$\begin{cases}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\geqslant(x_{2}+x_{3})^{2}+(y_{2}+y_{3})^{2},\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\geqslant(x_{1}+x_{3})^{2}+(y_{1}+y_{3})^{2},\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\geqslant(x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2},\end{cases}$
相加得$(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}+(y_{1}+y_{2}+y_{3})^{2}\leqslant0$，
所以$z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$，所以$z_{3}=-1 - 2i$.