《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·重庆巴蜀中学月考]将一个棱长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了(B)

A.$6a^{2}$
B.$12a^{2}$
C.$18a^{2}$
D.$24a^{2}$

答案： 1.B 【解析】原来正方体的表面积为$S_1 = 6a^2$，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为$\frac{1}{3}a$，表面积为$6 × (\frac{1}{3}a)^2 = \frac{2}{3}a^2$，总表面积为$S_2 = 27 × \frac{2}{3}a^2 = 18a^2$，所以增加的表面积为$S_2 - S_1 = 12a^2$．

2. [2024·泉州二中月考]若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a,棱台的高为$\frac{\sqrt{33}}{6}a$,则此正三棱台的侧面积为(C)

A.$a^{2}$
B.$\frac{1}{2}a^{2}$
C.$\frac{9}{2}a^{2}$
D.$\frac{3}{2}a^{2}$

答案：
2.C 【解析】如图，$O_1$，$O$分别为上、下底面的中心，$D_1$，$D$分别是$AC$，$A_1C_1$的中点，连接$O_1D_1$，$OD$，$DD_1$，$OO_1$，过$D_1$作$D_1E \perp OD$于点$E$．在直角梯形$ODD_1O_1$中，$OD = \frac{1}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} × 2a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$，$O_1D_1 = \frac{1}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} × a = \frac{\sqrt{3}}{6}a$，所以$DE = OD - O_1D_1 = \frac{\sqrt{3}}{6}a$．在$Rt \triangle DED_1$中，$D_1E = \frac{\sqrt{33}}{6}a$，则$D_1D = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{6}a)^2 + (\frac{\sqrt{33}}{6}a)^2} = \sqrt{\frac{3}{36}a^2 + \frac{33}{36}a^2} = a$．所以$S_{侧} = 3 × \frac{1}{2}(a + 2a)a = \frac{9}{2}a^2$．

3. [2024·长沙一中月考]如图所示,圆形纸片的圆心为O,半径为6 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,D,E,F为圆O上的点,$\triangle DBC$,$\triangle ECA$,$\triangle FAB$分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起$\triangle DBC$,$\triangle ECA$,$\triangle FAB$,使得D,E,F重合,得到三棱锥,则当$\triangle ABC$的边长变化时,三棱锥的表面积S的取值范围是(D)

A.$(0,36\pi)$
B.$(0,27\sqrt{3})$
C.$(0,45 - 9\sqrt{3})$
D.$(0,54\sqrt{3})$

答案：
3.D 【解析】设三棱锥底面边长为$a$，则$0 ＜ a ＜ 6\sqrt{3}$．如图所示，连接$OD$交$BC$于点$G$，则$OD = 6$，$OG = \frac{\sqrt{3}}{6}a$，$DG = 6 - \frac{\sqrt{3}}{6}a$，故三棱锥的底面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，侧面积为$3 × \frac{1}{2}a × (6 - \frac{\sqrt{3}}{6}a) = 9a - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，所以表面积为$S = 9a$，故$0 ＜ S ＜ 54\sqrt{3}$．故选D.

4. [2024·成都七中月考]过长方体一个顶点的三条棱长的比是1:2:3,体对角线的长是$2\sqrt{14}$,则这个长方体的体积是(D)

A.6
B.12
C.24
D.48

答案： 4.D 【解析】设过长方体一个顶点的三条棱长分别为$x$，$2x$，$3x$，由体对角线长为$2\sqrt{14}$，得$x^2 + (2x)^2 + (3x)^2 = (2\sqrt{14})^2$，解得$x = 2$．所以三条棱长分别为2，4，6．所以$V_{长方体} = 2 × 4 × 6 = 48$．

5. [2024·邯郸一中月考](多选)在四面体P - ABC中,$PA = PB = PC = BC = 1$,则该四面体的体积可能是(BC)

A.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{12}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{12}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 5.BC 【解析】由题意得，$\triangle PBC$是边长为1的正三角形，所以$S_{\triangle PBC} = \frac{\sqrt{3}}{4}$，设三棱锥$A - PBC$的高为$h$，则$0 ＜ h \leq 1$，故$V_{三棱锥P - ABC} = V_{三棱锥A - PBC} = \frac{1}{3}S_{\triangle PBC} · h = \frac{1}{3} × \frac{\sqrt{3}}{4} × h = \frac{\sqrt{3}}{12}h \in (0, \frac{\sqrt{3}}{12}]$．故选BC.

6. [2024·杭州学军中学期中]已知一个三棱锥的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,则棱台的体积为$1900 cm^3$.

答案：
6.$1900 cm^3$ 【解析】如图所示，在三棱台$ABC - A'B'C'$中，$O'$，$O$分别为上、下底面的中心，$D'$，$D$分别为$BC$，$B'C'$的中点，连接$OO'$，$A'D'$，$AD$，$DD'$，则$DD'$是等腰梯形$BCC'B'$的高，记为$h_0$，所以$S_{侧} = 3 × \frac{1}{2} × (20 + 30)h_0 = 75h_0$，上、下底面面积之和为$S_{上} + S_{下} = \frac{\sqrt{3}}{4} × (20^2 + 30^2) = 325\sqrt{3} (cm^2)$．由$S_{侧} = S_{上} + S_{下}$，得$75h_0 = 325\sqrt{3}$，解得$h_0 = \frac{13\sqrt{3}}{3} cm$．因为$O'D' = \frac{1}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} × 20 = \frac{10\sqrt{3}}{3} (cm)$，$OD = \frac{1}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} × 30 = 5\sqrt{3} (cm)$，记棱台的高为$h$，所以$h = O'O = \sqrt{h_0^2 - (OD - O'D')^2} = \sqrt{(\frac{13\sqrt{3}}{3})^2 - (5\sqrt{3} - \frac{10\sqrt{3}}{3})^2} = 4\sqrt{3} (cm)$．所以棱台的体积$V = \frac{h}{3}(S_{上} + S_{下} + \sqrt{S_{上}S_{下}}) = \frac{4\sqrt{3}}{3} × (325\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} × 20 × 30) = 1900 (cm^3)$．

7. [2024·重庆调研]水晶是一种石英结晶体矿物,因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等,常被人们制作成饰品.如图所示,现有棱长为2 cm的正方体水晶一块,将其裁去八个相同的四面体,打磨成饰品,则该饰品的表面积为(A)

A.$(12 + 4\sqrt{3})cm^{2}$
B.$(16 + 4\sqrt{3})cm^{2}$
C.$(12 + 3\sqrt{3})cm^{2}$
D.$(16 + 3\sqrt{3})cm^{2}$

答案： 7.A 【解析】由题意得，该饰品的表面积为6个边长为$\sqrt{2} cm$的正方形与8个边长为$\sqrt{2} cm$的正三角形的面积之和，则该饰品的表面积$S = 6 × (\sqrt{2})^2 + 8 × \frac{\sqrt{3}}{4} × (\sqrt{2})^2 = (12 + 4\sqrt{3}) (cm^2)$．故选A.

8. [2024·吉安一中期末]司马迁在《史记·高祖本纪》中借刘邦之口赞美张良:“夫运筹策帷帐之中,决胜于千里之外.”帷帐又名帷幄,是古代行军打仗必备的帐篷.如图是一种帷帐的简易直观图,帐顶采用“五脊四坡式”,正脊平行于底面,四条斜脊长度均相等,帷帐主体部分可以看作一个长方体.若该帷帐主体部分长10,宽6,高4,帐顶部分正脊长4,斜脊长$\sqrt{34}$,则它的体积为336.

答案：
8.336 【解析】如图所示，过点$A$，$B$分别作$AN$，$BM$垂直于底面，垂足分别为$N$，$M$，过点$M$，$N$分别作宽的平行线$CF$，$DE$，连接$AC$，$AF$，$BD$，$BE$，则帐顶部分被分割成3部分，中间一部分是直三棱柱，两边是相同的四棱锥．由题意，得$CD = AB = 4$，$DM = \frac{1}{2}DE = 3$，则$BD = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 3^2} = 5$，$BM = \sqrt{BD^2 - DM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，所以帐顶部分的体积$V_1 = 2 × \frac{1}{3} × 6 × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 6 × 4 × 4 = 96$．又底部长方体的体积$V_2 = 10 × 6 × 4 = 240$，所以总体积$V = V_1 + V_2 = 336$．