《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·驻马店一中期末]如图，在直三棱柱 $ ABC - A'B'C' $ 中，侧棱 $ AA' \perp $ 平面 $ ABC $. 若 $ AB = AC = AA' = 1 $，$ AB \perp AC $，$ M $，$ N $ 分别为 $ A'C' $，$ CC' $ 的中点，则异面直线 $ MN $ 与 $ B'C' $ 所成的角为(B)

A.$ 90° $
B.$ 60° $
C.$ 45° $
D.$ 30° $

答案：
1.B 【解析】如图，连接A'C，A'B.因为AA'⊥平面ABC，AB=AC=AA'=1，所以A'B=A'C= $\sqrt{1^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{2}$.又因为AB⊥AC，所以BC= $\sqrt{1^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{2}$，故△A'BC是等边三角形.又因为M，N分别为A'C'，CC'的中点，所以MN//A'C.又因为B'C'//BC，所以异面直线MN与B'C'所成的角和直线A'C与BC所成的角相同，为60°.

2. [2024·重庆巴蜀中学月考](多选)如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列结论，其中正确的有(ACD)

A.$ AB $ 与 $ CD $ 所在直线异面
B.$ CD $ 与 $ EF $ 所在直线平行
C.$ AB $ 与 $ MN $ 所在直线成 $ 60° $ 角
D.$ MN $ 与 $ EF $ 所在直线异面

答案： 2.ACD 【解析】画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知，A正确，B错误；因为MN=DN=DM，所以△DMN为等边三角形，又AB//DN，所以AB与MN所在直线成60°角，故C正确；显然MN与EF所在直线异面，故D正确.

3. [2024·上海中学单元检测]在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 各个面的对角线中，与 $ AD_1 $ 所成的角为 $ 60° $ 的有(C)

A.4 条
B.6 条
C.8 条
D.10 条

答案：
3.C 【解析】画出正方体如图所示，由图可知△AB₁D₁和△AD₁C均是等边三角形，所以B₁D₁，AB₁，CD₁，AC与AD₁成60°角.根据平行关系，可知B₁D₁，C₁D，A₁B，A₁C₁也与AD₁成60°角，故满足题意的面对角线共有8条.故选C.

4. [2024·大庆一中月考]
如图，在空间四边形 $ ABCD $ 中，$ AD = BC = 2 $，$ E $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ CD $ 的
中点，若 $ EF = \sqrt{3} $，则异面直线 $ AD $，$ BC $ 所成角的大小为60°.

答案： 4.60° 【解析】如图，取BD的中点M，连接EM，FM.因为E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，所以EM = $\frac{1}{2}$AD，FM = $\frac{1}{2}$BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.因为AD=BC=2，所以EM=MF=1，过点M作MH⊥EF于点H.在Rt△MHE中，EM=1，EH= $\frac{1}{2}$EF = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，则sin∠EMH = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以∠EMH = 60°，所以∠EMF = 2∠EMH = 120°.所以异面直线AD，BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.
答题模板：求异面直线所成的角的步骤：
“一作”，即过空间一点作两条异面直线的平行线，而空间一点一般取在两异面直线中的一条上，特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处.
“二证”，即证明所作平面角符合异面直线所成的角或其补角的定义.
“三求”，即通过解三角形，计算所作的角的大小.

5. [2024·武汉六中周练]若空间中三条直线 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ a \perp b $，$ b // c $，则直线 $ a $ 与 $ c $(B)

A.平行
B.垂直
C.异面
D.相交

答案： 5.B 【解析】因为a⊥b，b//c，所以a⊥c.

6. [2024·信阳二中月考]教室内有一把直尺，无论怎样放置，在地面上总有直线与直尺所在的直线(D)

A.异面
B.相交
C.平行
D.垂直

答案： 6.D 【解析】若直尺与地面相交，则C不正确；若直尺平行于地面，则B不正确；若直尺放在地面上，则A不正确.故选D.

7. [2024·六安一中月考]如图，在正四棱柱 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ E $，$ F $ 分别是 $ AB_1 $，$ BC_1 $ 的中点，则下列结论不成立的是(D)

A.$ EF $ 与 $ BB_1 $ 垂直
B.$ EF $ 与 $ BD $ 垂直
C.$ EF $ 与 $ CD $ 异面
D.$ EF $ 与 $ A_1C_1 $ 异面

答案：
7.D 【解析】如图所示，连接A₁B，易知E为A₁B的中点，由三角形中位线定理可得EF//A₁C₁，则EF，A₁C₁确定一个平面，显然EF与CD异面；由几何关系可得A₁C₁⊥BB₁，A₁C₁⊥BD，则EF⊥BB₁，EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.故选D.

8. [2024·青岛二中月考]如
图，空间四边形 $ ABCD $ 的
对角线 $ AC = 8 $，$ BD = 6 $，
$ M $，$ N $ 分别为 $ AB $，$ CD $ 的
中点，并且异面直线 $ AC $
与 $ BD $ 所成的角为 $ 90° $，则 $ MN = $5.

答案： 8.5 【解析】如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则PM//BD，PN//AC，所以∠MPN（或其补角）为异面直线AC与BD所成的角.因为AC与BD所成的角为90°，所以∠MPN = 90°.又PN = $\frac{1}{2}$AC = 4，PM = $\frac{1}{2}$BD = 3，所以MN = 5.

9. [2024·重庆实验中学月考]在空间四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = CD $，且 $ AB $ 与 $ CD $ 所成的角为 $ 60° $，$ E $，$ F $ 分别为 $ BC $，$ AD $ 的中点，则 $ EF $ 与 $ AB $ 所成的角为60°或30°.

答案：
9.60°或30° 【解析】如图，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG//AB，GF//CD，所以∠GEF（或其补角）为EF与AB所成的角，∠EGF（或其补角）为AB与CD所成的角.因为AB与CD所成的角为60°，所以∠EGF = 60°或120°.由AB = CD，知EG = FG，所以△EFG为等腰三角形，当∠EGF = 60°时，∠GEF = 60°；当∠EGF = 120°时，∠GEF = 30°.故EF与AB所成的角为60°或30°.

10. [2024·邢台一中期末]在空间四边形 $ ABCD $ 中，$ AD = BC $，$ M $，$ N $ 分别为 $ AB $，$ CD $ 的中点，且直线 $ BC $ 与 $ MN $ 所成的角为 $ 30° $，则直线 $ BC $ 与 $ AD $ 所成的角为60°.

答案： 10.60° 【解析】如图，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN//BC，EN = $\frac{1}{2}$BC，ME//AD，ME = $\frac{1}{2}$AD，所以∠ENM为BC与MN所成的角，∠MEN（或其补角）为BC与AD所成的角，所以∠ENM = 30°.因为AD = BC，所以ME = EN，所以∠EMN = ∠ENM = 30°，所以∠MEN = 180° - 30° - 30° = 120°，即BC与AD所成的角为60°.