《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

16. [2024·杭州二中月考]（15 分）已知复数 $ z_{1} = 2 + i $，$ 2z_{2} = \frac{z_{1} + i}{(2i + 1) - z_{1}} $.
（1）求 $ z_{2} $；
（2）在 $ \triangle ABC $ 中，$ B = \frac{\pi}{3} $，且 $ u = \cos A + 2i\cos^{2}\frac{C}{2} $，求 $ |u + z_{2}| $ 的取值范围.

答案： 16.
(1)因为$z_{1}=2+i，2z_{2}=\frac{z_{1}+i}{(2i+1)-z_{1}}$
所以$z_{2}=\frac{1}{2}[\frac{(2+i)+i}{(2i+1)-(2+i)}]=\frac{1+i}{-i-1}=-i$.
(2)因为$u + z_{2}=\cos A+2i\cos^{2}\frac{C}{2}-i=\cos A+i\cos C$，
所以$|u + z_{2}|^{2}=\cos^{2}A+\cos^{2}C=\frac{1+\cos2A}{2}+\frac{1+\cos2C}{2}=1+\frac{1}{2}(\cos2A+\cos2C)=1+\frac{1}{2}\cos(A + C)\cos(A - C)=1+\frac{1}{2}\cos(\pi - B)\cos(A - C)=1-\frac{1}{2}\cos(A - C)$.
因为$B=\frac{\pi}{3}$，所以$A + C=\frac{2\pi}{3}$，所以$A - C=\frac{2\pi}{3}-2C$，所以$A - C\in(-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$，所以$\cos(A - C)\in(-\frac{1}{2},1]$，
所以$|u + z_{2}|$的取值范围为$[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{5}}{2})$.

17. [2024·长治二中期中]（15 分）（1）已知关于 $ x $ 的实系数方程 $ x^{2} + mx + n = 0 $，若 $ 1 + \sqrt{2}i $ 是方程 $ x^{2} + mx + n = 0 $ 的一个复数根，求出 $ m, n $ 的值；
（2）已知 $ z \in \mathbf{C} $，$ z + 3i $，$ \frac{z}{3 - i} $ 均为实数，且复数 $ (z + ai)^{2} $ 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 17.
(1)由题得$(1+\sqrt{2}i)^{2}+m(1+\sqrt{2}i)+n=-1+m+n + 2\sqrt{2}i+\sqrt{2}mi=0$，
所以$\begin{cases}-1+m+n=0,\\2\sqrt{2}+\sqrt{2}m=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-2,\\n = 3.\end{cases}$
(2)设$z=x + yi(x,y\inR)$，
因为$z + 3i=x+(y + 3)i$为实数，所以$y=-3$.
因为$\frac{z}{3-i}=\frac{x - 3i}{3-i}=\frac{1}{10}[(x - 3i)(3+i)]=\frac{1}{10}[(3x + 3)+(x - 9)i]$为实数，所以$x=9$，所以$z=9 - 3i$.
因为$(z + ai)^{2}=81-(a - 3)^{2}+18(a - 3)i=72 + 6a - a^{2}+18(a - 3)i$，所以由已知得$\begin{cases}72 + 6a - a^{2}＞0,\\18(a - 3)＞0,\end{cases}$
解得$3＜a＜12$，则$a$的取值范围是$(3,12)$.