《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2022·全国卷乙卷]设$(1 + 2i)a + b = 2i$，其中$a$，$b$为实数，则(A)

A.$a = 1$，$b = -1$
B.$a = 1$，$b = 1$
C.$a = -1$，$b = 1$
D.$a = -1$，$b = -1$

答案： 1.A[解析]由题意得$a + b + 2ai = 2i$，所以$\begin{cases}a + b = 0,\\2a = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -1.\end{cases}$故选A

2. [全国卷乙卷]设$2(z + \overline{z}) + 3(z - \overline{z}) = 4 + 6i$，则$z =$(C)

A.$1 - 2i$
B.$1 + 2i$
C.$1 + i$
D.$1 - i$

答案： 2.C[解析]设复数$z = a + bi$，则$\overline{z} = a - bi$，代入等式$2(z + \overline{z}) + 3(z - \overline{z}) = 4 + 6i$，化简得$4a + 6bi = 4 + 6i$，由复数相等可得$\begin{cases}4a = 4,\\6b = 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 1,\end{cases}$故$z = 1 + i$

3. [全国卷Ⅲ]复数$\frac{1}{1 - 3i}$的虚部是(D)

A.$-\frac{3}{10}$
B.$-\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{10}$
D.$\frac{3}{10}$

答案： 3.D[解析] $\frac{1}{1 - 3i} = \frac{1(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} = \frac{1 + 3i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{3}{10}i$，虚部为$\frac{3}{10}$.

4. [2022·上海卷]已知复数$z = 2 + i$(其中$i$为虚数单位)，则$\overline{z} =$$2 - i$。

答案： 4.$2 - i$[解析]由题意得$\overline{z} = 2 - i$.

5. [2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，$(1 + 3i)(3 - i)$对应的点位于(A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 5.A[解析]因为$(1 + 3i)(3 - i) = 3 - i + 9i - 3i^2 = 6 + 8i$，所以该复数在复平面内对应的点为$(6, 8)$，位于第一象限.故选A

6. [2023·上海卷]设$z_1$，$z_2 \in C$，且$z_1 = i · \overline{z_2}$，$|z_1 - 1| = 1$，则$|z_1 - z_2|$的取值范围为$[0,2 + \sqrt{2}]$。

答案：
6.$[0,2 + \sqrt{2}]$ [解析]方法一:依题意，设复数$z_1 = x + yi$ ($x,y \in R$)，由$z_1 = i · \overline{z_2}$，得$\overline{z_2} = \frac{z_1}{i} = \frac{x + yi}{i} = \frac{(x + yi)i}{i^2} = y - xi$，所以$z_2 = y + xi$.由$|z_1 - 1| = 1$，得$(x - 1)^2 + y^2 = 1$，所以在复平面内，复数$z_1$对应的点在以$(1,0)$为圆心、$1$为半径的圆上，故可设$x = \cos\theta + 1,y = \sin\theta$，所以$|z_1 - z_2| = \sqrt{(x - y)^2 + (y - x)^2} = \sqrt{2}|x - y| = \sqrt{2}|\cos\theta - \sin\theta + 1| = \sqrt{2}|\sqrt{2}\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) + 1|$。因为$\sqrt{2}\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，所以$\sqrt{2}|\sqrt{2}\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) + 1| \in [0,2 + \sqrt{2}]$，所以$|z_1 - z_2| \in [0,2 + \sqrt{2}]$。
方法二:由$|z_1 - 1| = 1$知，在复平面内，复数$z_1$对应的点在以$(1,0)$为圆心、$1$为半径的圆上.又$z_1 = i · \overline{z_2}$，所以$|i · \overline{z_2} - 1| = 1$，所以$|\overline{z_2} + i| = 1$，所以$|z_2 - i| = 1$，所以在复平面内，复数$z_2$对应的点在以$(0,1)$为圆心、$1$为半径的圆上.如图，$A,B$为过两圆圆心的直线与两圆的交点（$A$在第二象限，$B$在第四象限），则$|z_1 - z_2|_{\max} = |AB| = 1 + \sqrt{2} + 1 = 2 + \sqrt{2}$，所以$|z_1 - z_2| \in [0,2 + \sqrt{2}]$。

7. [2024·新课标Ⅰ卷]若$\frac{z}{z - 1} = 1 + i$，则$z =$(C)

A.$-1 - i$
B.$-1 + i$
C.$1 - i$
D.$1 + i$

答案： 7.C[解析]由$\frac{z}{z - 1} = 1 + i$，可得$\frac{z - 1 + 1}{z - 1} = 1 + i$，即$1 + \frac{1}{z - 1} = 1 + i$，所以$\frac{1}{z - 1} = i$，所以$z - 1 = \frac{1}{i} = -i$，所以$z = 1 - i$.故选C.

8. [2024·新课标Ⅱ卷]已知$z = -1 - i$，则$|z| =$(C)

A.0
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.2

答案： 8.C[解析]由$z = -1 - i$，得$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.故选C.

9. [2024·全国卷甲卷]若$z = 5 + i$，则$i(\overline{z} + z) =$(A)

A.$10i$
B.$2i$
C.10
D.2

答案： 9.A[解析]因为$z = 5 + i$，所以$\overline{z} = 5 - i$，所以$i(\overline{z} + z) = 10i$.故选A.

10. [2024·全国卷甲卷]设$z = \sqrt{2}i$，则$z · \overline{z} =$(D)

A.$-2$
B.$\sqrt{2}$
C.$-\sqrt{2}$
D.2

答案： 10.D[解析]因为$z = \sqrt{2}i$，所以$\overline{z} = -\sqrt{2}i$，所以$z · \overline{z} = 2$.故选D.

11. [2023·全国卷甲卷]$\frac{5(1 + i^3)}{(2 + i)(2 - i)} =$(C)

A.$-1$
B.1
C.$1 - i$
D.$1 + i$

答案： 11.C[解析]由题意知，$\frac{5(1 + i^3)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{5(1 - i)}{2^2 - i^2} = \frac{5(1 - i)}{5} = 1 - i$.故选C.

12. [2023·新课标Ⅰ卷]已知$z = \frac{1 - i}{2 + 2i}$，则$z - \overline{z} =$(A)

A.$-i$
B.$i$
C.0
D.1

答案： 12.A[解析] $\frac{1 - i}{2 + 2i} = \frac{(1 - i)^2}{2(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{2(1 - i^2)} = \frac{-2i}{4} = -\frac{1}{2}i$，则$\overline{z} = -\frac{1}{2}i$，所以$z - \overline{z} = -\frac{1}{2}i - (-\frac{1}{2}i) = -i$.故选A.

13. [2023·全国卷乙卷]$|2 + i^2 + 2i^3| =$(C)

A.1
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.5

答案： 13.C[解析]$|2 + i^2 + 2i^3| = |2 - 1 - 2i| = |1 - 2i| = \sqrt{1 + (-2)^2} = \sqrt{5}$.故选C.

14. [2023·全国卷乙卷]设$z = \frac{2 + i}{1 + i^2 + i^5}$，则$\overline{z} =$(B)

A.$1 - 2i$
B.$1 + 2i$
C.$2 - i$
D.$2 + i$

答案： 14.B[解析]因为$z = \frac{2 + i}{1 + i^2 + i^3} = \frac{2 + i}{1 - 1 - i} = \frac{-i(2 + i)}{-i^2} = 1 - 2i$，所以$\overline{z} = 1 + 2i$.故选B.

15. [2023·全国卷甲卷]设$a \in R$，$(a + i)(1 - ai) = 2$，则$a =$(C)

A.$-2$
B.$-1$
C.1
D.2

答案： 15.C[解析]因为$(a + i)(1 - ai) = a - a^2i + i + a = 2a + (1 - a^2)i = 2$，所以$\begin{cases}2a = 2,\\1 - a^2 = 0,\end{cases}$解得$a = 1$.故选C;

16. [2022·新高考全国卷Ⅱ]$(2 + 2i)(1 - 2i) =$(D)

A.$-2 + 4i$
B.$-2 - 4i$
C.$6 + 2i$
D.$6 - 2i$

答案： 16.D[解析] $(2 + 2i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 2i + 4 = 6 - 2i$

17. [2022·全国卷甲卷]若$z = -1 + \sqrt{3}i$，则$\frac{z}{z\overline{z} - 1} =$(C)

A.$-1 + \sqrt{3}i$
B.$-1 - \sqrt{3}i$
C.$-\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}i$
D.$-\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}i$

答案： 17.C[解析] $\frac{z}{z\overline{z} - 1} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{(-1 + \sqrt{3}i)(-1 - \sqrt{3}i) - 1} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}i$.