《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

11. [2024·合肥一中期中]$P$是$\triangle ABC$所在平面内一点，若$\overrightarrow{CB}=\lambda\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$，其中$\lambda\in\mathbf{R}$，则点$P$一定在(B)

A.$\triangle ABC$内部(不含边界)
B.$AC$边所在的直线上
C.$AB$边所在的直线上
D.$BC$边所在的直线上

答案： 11.B[解析]因为 $\overrightarrow{CB}=\lambda\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$，所以 $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{PB}=\lambda\overrightarrow{PA}$，所以 $\overrightarrow{CP}=\lambda\overrightarrow{PA}$，所以 $P$，$A$，$C$ 三点共线，所以点 $P$ 一定在 $AC$ 边所在的直线上. 故选B.

12. [2024·珠海一中月考]在四边形$ABCD$中，若$\overrightarrow{AB}=3\boldsymbol{e}_1$，$\overrightarrow{CD}=-5\boldsymbol{e}_1$，且$|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$，则四边形$ABCD$是(C)

A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.不等腰的梯形

答案： 12.C[解析]因为 $\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{CD}$，所以 $AB// CD$，且 $|\overrightarrow{AB}|\neq|\overrightarrow{CD}|$，而 $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$，所以四边形 $ABCD$ 为等腰梯形.

13. [2024·哈尔滨三中单元检测](多选)已知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$是两个非零向量，下列条件中，一定能使$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共线的有(AB)

A.$2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}=4\boldsymbol{e}$且$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=-2\boldsymbol{e}$
B.存在相异实数$\lambda,\mu$，使$\lambda\boldsymbol{a}-\mu\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$
C.$x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$(其中实数$x,y$满足$x+y=0$)
D.已知在梯形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{b}$

答案： 13.AB[解析]由 $2a-3b=-2(a+2b)$ 得 $b=-4a$，故A正确；由 $\lambda a-\mu b=0$，得 $\lambda a=\mu b$，故B正确；若 $x=y=0$，则 $xa+yb=0$，但 $b$ 与 $a$ 不一定共线，故C错误；在梯形 $ABCD$ 中，没有说明哪组对边平行，故D错误. 故选AB.

14. [2024·济宁一中月考]设$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$是两个不共线的向量，若向量$\boldsymbol{m}=-\boldsymbol{e}_1+k\boldsymbol{e}_2(k\in\mathbf{R})$与向量$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_1$共线，则$k=$$\frac{1}{2}$。

答案： 14.$\frac{1}{2}$[解析]由 $e_1$，$e_2$ 不共线，易知 $n=e_2-2e_1$ 为非零向量，由 $m$，$n$ 共线，可知存在实数 $\lambda$，使得 $m=\lambda n$，即 $-e_1+ke_2=\lambda(e_2-2e_1)=-2\lambda e_1+\lambda e_2$，则 $\begin{cases}-1=-2\lambda,\\k=\lambda.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}\lambda=\frac{1}{2},\\k=\frac{1}{2}.\end{cases}$

15. [2024·荆门一中月考]已知向量$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{e}_1-3\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2$，其中$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$不共线，向量$\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{e}_1-9\boldsymbol{e}_2$，问：是否存在实数$\lambda,\mu$，使$\boldsymbol{d}=\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{c}$共线？

答案： 15.由题意知，$d=\lambda a+\mu b=\lambda(2e_1-3e_2)+\mu(2e_1+3e_2)=(2\lambda+2\mu)e_1+(-3\lambda+3\mu)e_2$. 假设存在实数 $\lambda$，$\mu$ 使 $d$ 与 $c$ 共线，则应存在实数 $k$，使 $d=kc$，即 $(2\lambda+2\mu)e_1+(-3\lambda+3\mu)e_2=2ke_1-9ke_2$，即 $(2\lambda+2\mu-2k)e_1=(-9k+3\lambda-3\mu)e_2$. 因为 $e_1$，$e_2$ 不共线，所以 $\begin{cases}2\lambda+2\mu-2k=0,\\-9k+3\lambda-3\mu=0,\end{cases}$ 所以 $\lambda=-2\mu$. 故存在实数 $\lambda$，$\mu$，只要 $\lambda=-2\mu$，就能使 $d$ 与 $c$ 共线.

1. [2024·青岛二中月考]设$\boldsymbol{e}_1$与$\boldsymbol{e}_2$是两个不共线的向量，$\overrightarrow{AB}=3\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{CB}=k\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{CD}=3\boldsymbol{e}_1-2k\boldsymbol{e}_2$，若$A,B,D$三点共线，则实数$k$的值为(A)

A.$-\frac{9}{4}$
B.$-2$
C.$2$
D.$\frac{4}{7}$

答案： 1.A[解析]由 $A$，$B$，$D$ 三点共线知，必存在一个实数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{BD}$. 因为 $\overrightarrow{CB}=ke_1+e_2$，$\overrightarrow{CD}=3e_1-2ke_2$，所以 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=3e_1-2ke_2-(ke_1+e_2)=(3-k)e_1-(2k+1)e_2$. 由 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{BD}$ 得 $3e_1+2e_2=\lambda[(3-k)e_1-(2k+1)e_2]$，即 $[2+\lambda(2k+1)]e_2=[\lambda(3-k)-3]e_1$. 因为 $e_1$，$e_2$ 不共线，所以 $\begin{cases}2+\lambda(2k+1)=0,\\\lambda(3-k)-3=0,\end{cases}$ 解得 $k=-\frac{9}{4}$. 故选A.

2. [2024·吉林一中期中]已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$为同一平面内的两个不共线向量，且$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC}=-5\boldsymbol{a}+6\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD}=7\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$，则$A,B,C,D$四点中一定共线的三点是A，B，D。

答案： 2.A，B，D[解析]$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(-5a+6b)+(7a-2b)=2(a+2b)=2\overrightarrow{AB}$，所以 $A$，$B$，$D$ 三点共线.

3. [2024·合肥二中月考]如图，$C$是点$B$关于点$A$的对称点，$D$是线段$OB$上一个靠近点$B$的三等分点，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AO}=\boldsymbol{b}$。
(1)用向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$表示向量$\overrightarrow{OC},\overrightarrow{CD}$；
(2)若$\overrightarrow{OE}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$，求证：$C,D,E$三点共线。

答案： 3.
(1)由题意得 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}$. 因为 $\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AO}=b$，所以 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=-b-a$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO})=2a+\frac{1}{3}(-a+b)=\frac{5}{3}a+\frac{1}{3}b$.
(2)证明：因为 $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AO}=\frac{4}{5}(-b)+a+b=a+\frac{1}{5}b=\frac{3}{5}\overrightarrow{CD}$，所以 $\overrightarrow{CE}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 平行. 又因为 $\overrightarrow{CE}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 有公共点 $C$，所以 $C$，$D$，$E$ 三点共线.