《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

8. [2024·衡水中学月考]如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC//平面DEFG,EF//DG,且AB=DE,DG=2EF,则(A)

A.BF//平面ADGC
B.GF//平面ABED
C.BC//FG
D.平面ABED//平面CGF

答案： 8.A[解析]因为平面$ABC \cap$平面$ABED = AB$，平面$DEFG \cap$平面$ABED = DE$，平面$ABC //$平面$DEFG$，所以$AB // DE$。又因为$AB = DE$，所以四边形$ABED$是平行四边形，所以$BE // AD$。因为$EF // DG$，$BE \cap EF = E$，$AD \cap DG = D$，所以平面$BEF //$平面$ADGC$。因为$BF \subset$平面$BEF$，所以$BF //$平面$ADGC$，故A正确；由于$DG = 2EF$，因此四边形$EFGD$是梯形，$GF$的延长线必与直线$DE$相交，故B，D不正确；选项C不能根据题意推知。故选A。

9. [2024·石家庄模拟]如图,在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,M,N分别为线段A₁B,B₁C上的点,且MN//平面ACC₁A₁,则这样的MN有(D)

A.1条
B.2条
C.3条
D.无数条

答案：
9.D[解析]如图，过点$M$作$MQ // AA_1$，交$AB$于点$Q$，过点$Q$作$QH // AC$，交$BC$于点$H$，过点$H$作$NH // BB_1$，交$B_1C_1$于点$N$。因为$BB_1 // AA_1$，所以$NH // MQ$，所以$M$，$Q$，$H$，$N$四点共面，又易得平面$MQHN //$平面$ACC_1A_1$，则$MN //$平面$ACC_1A_1$。因为$M$为线段$A_1B$上的动点，所以这样的$MN$有无数条。故选D。

1. [2024·贵州模拟]如图所示,已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁.
(1)求证:平面A₁BD//平面B₁D₁C;
(2)若E,F分别是AA₁,CC₁的中点,求证:平面EB₁D₁//平面FBD.

答案：
1.证明：
(1)因为$BB_1 // DD_1$，所以四边形$BB_1D_1D$是平行四边形，所以$B_1D_1 // BD$。又$BD \not\subset$平面$B_1D_1C$，$B_1D_1 \subset$平面$B_1D_1C$，所以$BD //$平面$B_1D_1C$。同理$A_1D //$平面$B_1D_1C$，又$A_1D \subset$平面$A_1BD$，$BD \subset$平面$A_1BD$，且$A_1D \cap BD = D$，所以平面$A_1BD //$平面$B_1D_1C$。
(2)如图所示，由$BD // B_1D_1$，$BD \not\subset$平面$EB_1D_1$，$B_1D_1 \subset$平面$EB_1D_1$，得$BD //$平面$EB_1D_1$。取$BB_1$的中点$G$，连接$AG$，$GF$，易得$AE // B_1G$。又因为$AE = B_1G$，所以四边形$AEB_1G$是平行四边形，所以$B_1E // AG$。因为$GF // BC // AD$，$GF = BC = AD$，所以四边形$ADFG$是平行四边形，所以$AG // DF$，所以$B_1E // DF$。因为$DF \not\subset$平面$EB_1D_1$，$B_1E \subset$平面$EB_1D_1$，所以$DF //$平面$EB_1D_1$。又因为$BD \subset$平面$FBD$，$DF \subset$平面$FBD$，且$BD \cap DF = D$，所以平面$EB_1D_1 //$平面$FBD$。

2. [2024·贵阳一中月考]如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M,N分别是棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE.
求证:(1)MN//平面PAD;
(2)MN//PE.

答案：
2.证明：
(1)如图，取$DC$的中点$Q$，连接$MQ$，$NQ$。因为$N$，$Q$分别是$PC$，$DC$的中点，所以$NQ // PD$。
因为$NQ \not\subset$平面$PAD$，$PD \subset$平面$PAD$，所以$NQ //$平面$PAD$。
因为$M$，$Q$分别是$AB$，$CD$的中点，四边形$ABCD$是平行四边形，所以$MQ // AD$。
又$MQ \not\subset$平面$PAD$，$AD \subset$平面$PAD$，所以$MQ //$平面$PAD$。
因为$MQ \subset$平面$MNQ$，$NQ \subset$平面$MNQ$，且$MQ \cap NQ = Q$，所以平面$MNQ //$平面$PAD$。
因为$MN \subset$平面$MNQ$，所以$MN //$平面$PAD$。
(2)因为平面$MNQ //$平面$PAD$，且平面$PEC \cap$平面$MNQ = MN$，平面$PEC \cap$平面$PAD = PE$，
所以$MN // PE$。