《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

10. [2024·吉安检测]如图,$PO⊥$平面 ABC,$BD⊥AC$,则在图中与 AC 垂直的直线有(D)

A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条

答案： 10.D [解析]因为$PO\bot$平面ABC，$AC\subset$平面ABC，所以$PO\bot AC$.又因为$AC\bot BD$，$PO\cap BD=O$，所以$AC\bot$平面PBD.因此平面PBD中的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直.故选D.

11. [2024·合肥二中月考]如图,设平面$α\cap β = EF,AB⊥α,CD⊥α$,垂足分别为 B,D. 如果增加一个条件,就能推出$BD⊥EF$,这个条件不可能是下面四个选项中的(D)

A.$AC⊥β$
B.$AC⊥EF$
C.AC 与 BD 在β内的射影在同一条直线上
D.AC 与α,β所成的角相等

答案： 11.D [解析]因为$AB\bot \alpha$，$CD\bot \alpha$，所以$AB// CD$，所以A，B，C，D四点共面，选项A，B中的条件都能推出$EF\bot$平面ABDC，则$EF\bot BD$.选项C中，因为AC与BD在$\beta$内的射影在同一条直线上，所以显然有$EF\bot BD$.选项D中，若$AC// EF$，则AC与$\alpha,\beta$所成的角也相等，但不能推出$BD\bot EF$.故选D.

12. [2024·无锡一中月考]如图,在矩形 ABCD 中,$AB = 1,BC = 2$,P 为平面 ABCD 外一点,$PA⊥$平面 ABCD,且$PA = 1$,点 Q 在边 BC 上. 若要使$PQ⊥QD$,则这样的点 Q 有(B)

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.无数个

答案： 12.B [解析]连接AQ(图略).因为$PA\bot$平面ABCD，$QD\subset$平面ABCD，所以$PA\bot QD$.又$PQ\bot QD$，$PA\cap PQ=P$，$PA,PQ\subset$平面PAQ，所以$QD\bot$平面PAQ.又$AQ\subset$平面PAQ，所以$QD\bot AQ$.取AD的中点O，则点Q应在以点O为圆心，$\frac{1}{2}AD$的长为半径的圆周上.根据题意知点Q在BC上，则Q是圆O与BC的交点.因为圆心O到BC的距离为1，圆O的半径也是1，所以圆O与BC相切，即满足题意的点Q有且只有一个.故选B.

1. [2024·河南省实验中学期末]如图,AB 为圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,M 为圆周上任意一点,$AN⊥PM$,N 为垂足.
(1)求证:$AN⊥$平面 PBM;
(2)若$AQ⊥PB$,垂足为 Q,求证:$NQ⊥PB$.

答案： 1.证明：
(1)因为AB为圆O的直径，所以$AM\bot BM$.又$PA\bot$平面ABM，$BM\subset$平面ABM，所以$PA\bot BM$.又因为$PA\cap AM=A$，$PA\subset$平面PAM，$AM\subset$平面PAM，所以$BM\bot$平面PAM.又$AN\subset$平面PAM，所以$BM\bot AN$.又$AN\bot PM$，且$BM\cap PM=M$，$BM\subset$平面PBM，$PM\subset$平面PBM，所以$AN\bot$平面PBM.
(2)由
(1)知$AN\bot$平面PBM，$PB\subset$平面PBM，所以$AN\bot PB$.又因为$AQ\bot PB$，$AN\cap AQ=A$，$AN\subset$平面ANQ，$AQ\subset$平面ANQ，所以$PB\bot$平面ANQ.因为$NQ\subset$平面ANQ，所以$NQ\bot PB$.

2. [2024·成都模拟]如图,在正方体 ABCD - $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,EF 与异面直线 AC,$A_{1}D$都垂直相交. 求证:$EF// BD_{1}$.

答案：
2.证明：如图所示，连接$AB_1$，$B_1C$，$BD$，$B_1D_1$.因为$DD_1\bot$平面ABCD，$AC\subset$平面ABCD，所以$DD_1\bot AC$.又因为$AC\bot BD$，$DD_1\cap BD=D$，$BD,DD_1\subset$平面$BDD_1$，所以$AC\bot$平面$BDD_1$.又因为$B_1D_1\subset$平面$BDD_1$，所以$AC\bot B_1D_1$.同理可证$B_1D_1\bot B_1C$.又因为$AC\cap B_1C=C$，$AC,B_1C\subset$平面$AB_1C$，所以$B_1D_1\bot$平面$AB_1C$.因为$EF\bot AD$，$AD// BC$，所以$EF\bot BC$.又因为$EF\bot AC$，$AC\cap B_1C=C$，$AC,B_1C\subset$平面$AB_1C$，所以$EF\bot$平面$AB_1C$.所以$EF// B_1D_1$.