《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

7. [2024·孝感质检]如图所示，在平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 的延长线和反向延长线上分别取点 $F$，$E$，使 $BE = DF$. 求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形.（用向量法证明）

答案： 7.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. 因为$\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{BE}$,且$\overrightarrow{FD}$与$\overrightarrow{BE}$的方向相同，所以$\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{BE}$. 又因为$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE},\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}$,所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FC}$,即AE与FC平行且相等，所以四边形AECF是平行四边形.

8. [2024·西安中学期中]在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{BC}=b$，且 $|a| = |b| = 1$，$|a + b| = \sqrt{2}$，则 $\triangle ABC$ 是 (D)

A.等边三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形

答案： 8.D 【解析】因为$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert=1,\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{2}$,所以$\vert\boldsymbol{a}\vert^2+\vert\boldsymbol{b}\vert^2=\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert^2$,所以$a,b$所在直线互相垂直，所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形.

9. [2024·湖南师大附中周练]设 $M$ 是线段 $BC$ 的中点，点 $A$ 在线段 $BC$ 外，$|\overrightarrow{BC}|^2 = 16$，$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$，则 $|\overrightarrow{AM}|=$ (C)

A.8
B.4
C.2
D.1

答案： 9.C 【解析】以$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$为邻边作平行四边形ACDB,则由向量加、减法的几何意义可知$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. 因为$\vert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\vert=\vert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\vert$,所以$\vert\overrightarrow{AD}\vert=\vert\overrightarrow{CB}\vert$. 又因为四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故$AC\perp AB$,则AM为Rt$\triangle BAC$斜边BC上的中线，因此，$\vert\overrightarrow{AM}\vert=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{BC}\vert=\frac{1}{2}×\sqrt{16}=2$.

10. [2024·南昌调研](多选)已知 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形，且 $\angle A = 90^{\circ}$，则有 (ABC)

A.$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$
B.$|\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}|$
C.$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}| = |\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}|$
D.$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|^2 ＞ |\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}|^2$

答案： 10.ABC 【解析】由条件可知$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\vert\overrightarrow{AC}\vert$,且$AB\perp AC$,以$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$为邻边的平行四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法的几何意义可知$\vert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\vert=\vert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\vert$,故A正确；$\vert\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\vert=\vert\overrightarrow{AC}\vert$,$\vert\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\vert=\vert\overrightarrow{AB}\vert$,所以$\vert\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\vert=\vert\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\vert$,故B正确；$\vert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}\vert=\vert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\vert=\vert\overrightarrow{AC}\vert$,$\vert\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\vert=\vert\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\vert=\vert\overrightarrow{AB}\vert$,所以$\vert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}\vert=\vert\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\vert$,故C正确；$\vert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\vert^2=\vert\overrightarrow{CB}\vert^2$,$\vert\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\vert^2=\vert\overrightarrow{BA}\vert^2$,$\vert\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}\vert^2=\vert\overrightarrow{CA}\vert^2$,由条件可知$\vert\overrightarrow{CB}\vert^2=\vert\overrightarrow{BA}\vert^2+\vert\overrightarrow{CA}\vert^2$,即$\vert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\vert^2=\vert\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\vert^2+\vert\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}\vert^2$,故D错. 故选ABC.

11. 若 $a\neq0$，$b\neq0$，且 $|a| = |b| = |a - b|$，则 $a$ 与 $a + b$ 所在直线的夹角是$30^{\circ}$.

答案：
11.$30^{\circ}$【解析】设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示，则$a + b=\overrightarrow{OC}$,$a - b=\overrightarrow{BA}$. 因为$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert=\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert$,所以$\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert=\vert\overrightarrow{BA}\vert$,所以$\triangle OAB$是等边三角形，所以四边形OACB是菱形，$\angle BOA = 60^{\circ}$. 在菱形OACB中，对角线OC平分$\angle BOA$,所以$a$与$a + b$所在直线的夹角为$30^{\circ}$.

12. [2024·江苏清江中学月考]已知非零向量 $a$，$b$ 满足 $|a| = \sqrt{7} + 1$，$|b| = \sqrt{7} - 1$，且 $|a - b| = 4$，则 $|a + b|=$$4$.

答案： 12.$4$【解析】设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$,则$\vert\overrightarrow{BA}\vert=\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert$. 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则$\vert\overrightarrow{OC}\vert=\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert$. 由于$(\sqrt{7}+1)^2+(\sqrt{7}-1)^2=4^2$,故$\vert\overrightarrow{OA}\vert^2+\vert\overrightarrow{OB}\vert^2=\vert\overrightarrow{BA}\vert^2$,所以$\triangle OAB$是直角三角形，$\angle AOB = 90^{\circ}$,从而$OA\perp OB$,所以四边形OACB是矩形. 根据矩形的对角线相等得$\vert\overrightarrow{OC}\vert=\vert\overrightarrow{BA}\vert=4$,即$\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert=4$.

13. [2024·武汉二中月考]在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，且 $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}| = 1$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=0$，$\cos\angle DAB = \frac{1}{2}$，则 $|\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}|=$$\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}|=$$1$.

答案： 13.$\sqrt{3}\ 1$【解析】因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{0}$,所以四边形ABCD是平行四边形. 又因为$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\vert\overrightarrow{AD}\vert=1$,所以四边形ABCD为菱形. 因为$\cos\angle DAB=\frac{1}{2},\angle DAB\in(0,\pi)$,所以$\angle DAB = 60^{\circ}$,所以$\triangle ABD$为等边三角形. 所以$\vert\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}\vert=\vert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\vert=\vert\overrightarrow{AC}\vert=2\vert\overrightarrow{AO}\vert=\sqrt{3}$,$\vert\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\vert=\vert\overrightarrow{BD}\vert=\vert\overrightarrow{AB}\vert=1$.

14. [2024·华南师大附中期中]如图，已知电线 $AO$ 与天花板的夹角为 $60^{\circ}$，电线 $AO$ 所受拉力为 $F_1$，$|F_1| = 24$ N，绳 $BO$ 与墙壁垂直，所受拉力为 $F_2$，$|F_2| = 12$ N，则 $F_1$ 与 $F_2$ 的合力大小为$12\sqrt{3}\ N$，方向为竖直向上.

答案：
14.$12\sqrt{3}\ N$竖直向上
【解析】如图，以OA,OB为邻边作平行四边形BOAC,则$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$. 因为$\angle OAC = 60^{\circ},\vert\overrightarrow{OA}\vert=24,\vert\overrightarrow{AC}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert=12$,所以$\angle ACO = 90^{\circ}$,所以$\vert\overrightarrow{OC}\vert=12\sqrt{3}$,所以$\overrightarrow{F_1}$与$\overrightarrow{F_2}$的合力大小为$12\sqrt{3}\ N$,方向为竖直向上.

15. [2024·九江一中月考]某人在静水中游泳的速度大小为 $4\sqrt{3}$ 千米/时，现在他在水流速度大小为 $4$ 千米/时的河中游泳.
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

答案：
15.
(1)如图1所示，设此人游泳的速度为$\overrightarrow{OB}$,水流的速度为$\overrightarrow{OA}$,以$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$为邻边作$□ OACB$,则此人的实际速度为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$. 由勾股定理知$\vert\overrightarrow{OC}\vert=8$,且在Rt$\triangle OAC$中，$\angle COA = 60^{\circ}$,故此人沿与河岸成$60^{\circ}$的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为$8$千米/时.

(2)如图2所示，设此人的实际速度为$\overrightarrow{OD}$,水流速度为$\overrightarrow{OA}$,则游泳的速度为$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$. 在Rt$\triangle AOD$中，$\vert\overrightarrow{AD}\vert=4\sqrt{3},\vert\overrightarrow{OA}\vert=4$,则$\vert\overrightarrow{OD}\vert=4\sqrt{2},\cos\angle DAO=\frac{\sqrt{3}}{3}$,故此人沿向量$\overrightarrow{AD}$的方向（逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$)游,实际前进的速度大小为$4\sqrt{2}$千米/时.