《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

5. [2024·银川一中周练]如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(D)



A.①②
B.①③
C.①④
D.①⑤

答案： 5.D【解析】当竖直的平面过圆柱的轴时，截面是①；当竖直的平面不过轴时，截面可能是⑤.故选D.

6. [2024·吉林一中月考]如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是(A)


A.①③
B.①②
C.②④
D.②③

答案： 6.A【解析】①的截面过三棱锥底面的一边；③的截面平行于三棱锥底面；②错误，因为截面圆内三角形的一条边不可能过圆心；④错误，因为经过球心的截面圆不可能过三棱锥的底面.故选A.

7. [全国卷Ⅰ]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(C)


A.$\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$
B.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

答案： 7.C【解析】由题意，可设该正四棱锥底面正方形边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高为h₁，则有
$\begin{cases} h^{2} = \frac{1}{2}ah_{1}, \\ h^{2} = h_{1}^{2} - (\frac{a}{2})^{2}, \end{cases}$
因此有$h_{1}^{2} - (\frac{a}{2})^{2} = \frac{1}{2}ah_{1}，$整理得
$4(\frac{h_{1}}{a})^{2} - \frac{2h_{1}}{a} - 1 = 0，$解得$\frac{h_{1}}{a} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$或$\frac{h_{1}}{a} = \frac{ - \sqrt{5} + 1}{4}（$舍去）.故选C.

8. [2024·成都七中月考]一个半径为2的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，则此截面的面积为2π.

答案： 8.2π【解析】过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，则截面是半圆面，半径为2，所以其面积为$\frac{1}{2} × π × 2^{2} = 2π.$

9. [2024·潍坊一中月考]用一个平面去截一个球，若截得的圆的最大面积为4π，则与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为3π.

答案： 9.3π【解析】所截得的最大的圆为过球心的圆，因其面积为4π，故球的半径为2，则所求的截面圆的半径$r = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}，$故其面积为$πr^{2} = 3π.$

10. 已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球得到圆M.若OA = 1，则圆M的面积为$\frac{3π}{4}$；若圆M的面积为3π，则球O的半径为2.

答案： $10.\frac{3π}{4}2【$解析】若OA = 1，则$OM = \frac{1}{2}，$故圆M的半径$r = \sqrt{OA^{2} - OM^{2}} = \sqrt{1^{2} - (\frac{1}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}，$所以圆M的面积$S = πr^{2} = \frac{3π}{4}.$因为圆M的面积为3π，所以圆M的半径$r = \sqrt{3}.$设球O的半径为R，则$R^{2} = (\frac{R}{2})^{2} + 3，$所以$\frac{3}{4}R^{2} = 3，$所以$R^{2} = 4，$所以R = 2，即球O的半径为2.

11. [2024·青岛二中月考]将4个半径都是R的球完全装入底面半径是2R的圆柱形桶中，则桶的最小高度是$(2 + \sqrt{2})R$.

答案： $11.(2 + \sqrt{2})R【$解析】由题意知，小球要分两层放置且每层两个.设下层两小球的球心分别是A，B，上层两小球的球心分别是C，D.此时，圆柱的底面半径 = 两小球半径的和，恰好使两小球外切，且与圆柱的母线相切.圆柱上、下底面圆心的距离 = 上层小球的上方半径 + AB与CD间的距离 + 下层小球的下方半径 = 2R + AB与CD间的距离.设AB，CD的中点分别为E，F.很明显，四面体A - BCD每条棱的长都是2R，容易求出EC = ED，FA = FB.由EC = ED，CF = DF，得EF⊥CD.由FA = FB，AE = BE，得EF⊥AB.所以EF是AB与CD间的距离，即圆柱上、下底面圆心的距离 = 2R + EF.由勾股定理，有$CE^{2} + AE^{2} = AC^{2}，$$CE^{2} = EF^{2} + CF^{2}.$两式相减，消去CE，得$AE^{2} = AC^{2} - EF^{2} - CF^{2}，$所以$EF^{2} = AC^{2} - AE^{2} - CF^{2} = (2R)^{2} - R^{2} - R^{2} = 2R^{2}，$所以$EF = \sqrt{2}R.$所以圆柱形桶的最小高度为$2R + \sqrt{2}R = (2 + \sqrt{2})R.$

12. [2024·烟台二中月考]一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm²和25π cm².则
(1)圆台两底面圆心的距离为$3\sqrt{15}cm$；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

答案：
$12.(1)3\sqrt{15}cm(2)20cm$
【解析】
(1)过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形ABCD，设O₁，O分别为AD，BC的中点，连接O₁O，作AM⊥BC于点M.由已知可得上底面半径O₁A = 2cm，下底面半径OB = 5cm，腰长AB = 12cm，所以$AM = \sqrt{12^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{15}cm，$即圆台两底面圆心的距离为$3\sqrt{15}cm.$
(2)延长BA，OO₁，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO₁∽△SBO，可得$\frac{SA}{SB} = \frac{AO_{1}}{BO}，$即$\frac{l - 12}{l} = \frac{2}{5}，$解得l = 20，即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

13. [2024·重庆模拟]为提高学生的动手能力，学校的学科拓展中心建立了3D打印中心和陶瓷DIY工作坊.一名同学在3D打印中心用橡胶打印了如图1所示的模具，该模具是棱长为2的正方体截去两个三棱锥后剩下的部分.该同学又在陶瓷DIY工作坊做了5个异形瓶，其瓶口形状如图2中①②③④⑤所示，则此橡胶七面体模具能作为图2中哪种异形瓶的瓶塞？答：①②⑤.(写出所有满足条件的序号)

答案：
13.①②⑤【解析】如图1中阴影部分所示，$AB = AC = BC = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}，$所对应的图形为①.
过几何体侧棱的中点，作平行于底面的截面，如图2中阴影部分所示，则$AB = AF = CD = DE = \frac{1}{2} × 2 = 1，$$BC = EF = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}，$由正方体的结构特征可知，BA⊥A₁F，CD⊥DE，所对应的图形为②.
如图3，设A₁B的中点为P，A₁C₁的中点为Q，A₁D的中点为M，连接AP，PQ，QM，MA，得到如图3中阴影部分所示的截面，则$AP = PQ = QM = MA = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}，$所以四边形APQM为菱形，连接PM，BD，$PM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}，$所以$∠PAM = \frac{π}{3}，$所对应的图形为⑤.
图形③是边长为$2\sqrt{2}$的正方形，图形①是两腰长为$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形.如图4，连接AC，BD，则AB = BC = CD = DA = AA₁ = CC₁ = 2，$AC = BD = A₁C₁ = BA₁ = BC₁ = DA₁ = 2\sqrt{2}，$显然在几何体中找不到边长为$2\sqrt{2}$的正方形，也找不到两腰长为$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形，故③④错误.