《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·中山一中月考]已知$A$，$B$是单位圆上两个动点，$O$为坐标原点，$|\overrightarrow{AB}|=1$，$\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}$，$M$为线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{OC}· \overrightarrow{OM}=$(B)

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： 1.B[解析]由题意知$\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$,所以$\overrightarrow{OC} · \overrightarrow{OM} = (3\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OB}) · \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA}^2 - \overrightarrow{OB}^2 + \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB}$.因为$|\overrightarrow{AB}| = 1$,且$|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OA}| = 1$,所以$\triangle OAB$为等边三角形,所以$\overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} = 1 × 1 × \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.所以$\overrightarrow{OC} · \overrightarrow{OM} = \frac{3}{2} × 1 - 1 + \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

2. [2024·岳阳一中期中]如图所示，在平行四边形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=3$，$\angle DAB=\frac{\pi}{3}$，点$E$，$F$分别在$BC$，$DC$边上，且$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{FC}$，则$\overrightarrow{AE}· \overrightarrow{BF}=$(C)


A.$-\frac{8}{3}$
B.$-1$
C.2
D.$\frac{10}{3}$

答案： 2.C[解析]因为$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$,所以$\overrightarrow{AE} · \overrightarrow{BF} = (\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}) · (\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^2 + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}^2 + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD} = -\frac{1}{2} × 4^2 + \frac{2}{3} × 3^2 + \frac{2}{3} × 4 × 3 × \frac{1}{2} = 2$.

3. [2024·六安一中月考]在$\triangle ABC$中，$AB=1$，$AC=2$，$D$为$BC$中点。若点$M$为$\triangle ABC$的外心，则$\overrightarrow{AD}· \overrightarrow{AM}=$$\frac{5}{4}$。

答案：
3.$\frac{5}{4}$[解析]画出$\triangle ABC$和外接圆，如图，作$MF \perp AC$交$AC$于点$F$，作$ME \perp AB$交$AB$于点$E$，则$\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) · \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| · |\overrightarrow{AE}| + \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC}| · |\overrightarrow{AF}| = \frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × 2 × 1 = \frac{5}{4}$.

4. [2024·昆明一中月考]如图所示，在平行四边形$ABCD$中，$\angle BAD=\frac{\pi}{3}$，$AB=2$，$AD=1$，若$M$，$N$分别是边$BC$，$CD$上的点，且满足$\frac{BM}{BC}=\frac{NC}{DC}=\lambda$，其中$\lambda \in [0,1]$，则$\overrightarrow{AM}· \overrightarrow{AN}$的取值范围是(C)

A.$[0,3]$
B.$[1,4]$
C.$[2,5]$
D.$[1,7]$

答案： 4.C[解析]因为$\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BC}} = \frac{\overrightarrow{NC}}{\overrightarrow{DC}} = \lambda$,所以$\overrightarrow{BM} = \lambda \overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{NC} = \lambda \overrightarrow{DC}$,所以$\overrightarrow{AM} · \overrightarrow{AN} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) · (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}) = (\overrightarrow{AB} + \lambda \overrightarrow{BC}) · (\overrightarrow{AD} + (1 - \lambda)\overrightarrow{DC}) = \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD} + (1 - \lambda)\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{DC} + \lambda \overrightarrow{BC} · \overrightarrow{AD} + \lambda(1 - \lambda)\overrightarrow{BC} · \overrightarrow{DC} = 1 + 4(1 - \lambda) + \lambda + \lambda(1 - \lambda)\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD} = -\lambda^2 - 2\lambda + 5$,$\lambda \in [0, 1]$,当$\lambda = 0$时,$\overrightarrow{AM} · \overrightarrow{AN}$取得最大值$5$;当$\lambda = 1$时,$\overrightarrow{AM} · \overrightarrow{AN}$取得最小值$2$,所以$\overrightarrow{AM} · \overrightarrow{AN}$的取值范围是$[2, 5]$.

5. [2024·武汉调研]如图，已知$A$，$B$，$C$是半径为$1$的圆$O$上的三点，且$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$，则$(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})· (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})$的最大值是(A)

A.$1+\sqrt{2}$
B.$1-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}-1$
D.1

答案：
5.A【解析】如图，作出$\overrightarrow{OD}$，使得$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}$，$(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) · (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OC}^2 - \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} · \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} = 1 - \overrightarrow{OC} · (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = 1 - \overrightarrow{OD} · \overrightarrow{OC}$.由图可知，当点$C$在$OD$的反向延长线与圆$O$的交点处时，$\overrightarrow{OD} · \overrightarrow{OC}$取得最小值，最小值为$-\sqrt{2}$，此时$(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) · (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB})$取得最大值，最大值为$1 + \sqrt{2}$.故选A.

6. [2024·重庆南开中学月考]设$P$是$\triangle ABC$所在平面上的一点，若$|2\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{CP}|=2$，则$\overrightarrow{PA}· \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}· \overrightarrow{PC}$的最小值为(C)

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-1$

答案：
6.C【解析】由$|2\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{BP} - \overrightarrow{CP}| = 2$，可得$|\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PC}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 2$.如图所示，

设$BC$的中点为$D$，则$|\overrightarrow{AD}| = 1$.$P$是$\triangle ABC$所在平面上的一点，设$O$为$AD$的中点，连接$PO$，则$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PA} · (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}) = 2\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PD} = 2(\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OA}) · (\overrightarrow{PO} - \overrightarrow{OA}) = 2(\overrightarrow{PO}^2 - \overrightarrow{OA}^2) = 2\overrightarrow{PO}^2 - \frac{1}{2} \geqslant -\frac{1}{2}$.当且仅当$|\overrightarrow{PO}| = 0$，即点$P$与点$O$重合时，$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PC}$有最小值$-\frac{1}{2}$.

7. [2024·绵阳中学月考]如图，扇形$AOB$的弧的中点为$M$，动点$C$，$D$分别在线段$OA$，$OB$上，且$OC=BD$。若$OA=1$，$\angle AOB=120^{\circ}$，则$\overrightarrow{MC}· \overrightarrow{MD}$的取值范围是$[\frac{3}{8},\frac{1}{2}]$。
]

答案： 7.$[\frac{3}{8},\frac{1}{2}]$[解析]因为$|\overrightarrow{OA}| = 1$,$\angle AOB = 120^{\circ}$,所以$\overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} = -\frac{1}{2}$.设$\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} (0 \leqslant \lambda \leqslant 1)$,则$\overrightarrow{OD} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} = -(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + \lambda \overrightarrow{OA} = (\lambda - 1)\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} = -(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + (1 - \lambda)\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA} - \lambda \overrightarrow{OB}$,则$\overrightarrow{MC} · \overrightarrow{MD} = [(\lambda - 1)\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}] · (-\overrightarrow{OA} - \lambda \overrightarrow{OB}) = (\lambda - 1)\overrightarrow{OA}^2 + \lambda \overrightarrow{OB}^2 - (\lambda^2 - \lambda - 1)\overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}(\lambda^2 - \lambda + 1) = \frac{1}{2}(\lambda - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{8}$.因为$0 \leqslant \lambda \leqslant 1$,所以$\overrightarrow{MC} · \overrightarrow{MD}$的取值范围是$[\frac{3}{8},\frac{1}{2}]$.

8. [2024·上饶中学月考]在$\triangle ABC$中，若$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|\lt |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$，则$\triangle ABC$为(D)

A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形

答案： 8.D[解析]由题意可得$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})^2 ＜ (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})^2$,即$\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AC}^2 + 2\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} ＜ \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AC}^2 - 2\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}$,整理得$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} ＜ 0$,则向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为钝角,即$\angle BAC ＞ 90^{\circ}$,据此可知$\triangle ABC$为钝角三角形.

9. [2024·山东师大附中期末]如图所示，正方形$ABCD$的边长为$6$，点$E$，$F$分别在边$AD$，$BC$上，且$DE=2AE$，$CF=2BF$。若有$\lambda \in (7,16)$，则在正方形的四条边上，使得$\overrightarrow{PE}· \overrightarrow{PF}=\lambda$成立的点$P$有(B)


A.2个
B.4个
C.6个
D.0个

答案： 9.B[解析]若点$P$在$AB$上,则$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} = (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AE}) · (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{BF}) = \overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{AE} · \overrightarrow{BF} \in [-5, 4]$;若点$P$在$CD$上,则$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} = (\overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DE}) · (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CF}) = \overrightarrow{PD} · \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{DE} · \overrightarrow{CF} \in [7, 16]$,当$P$为$CD$的中点时,$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} = 7$,当$P$不为$CD$的中点时,$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} \in (7, 16]$;若点$P$在$AE$上,则$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} = \overrightarrow{PE} · (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}) = \overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PE} · \overrightarrow{BF} \in [0, 4]$;同理,若点$P$在$BF$上,则$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} \in [0, 4]$;若点$P$在$DE$上,则$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} = \overrightarrow{PE} · (\overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CF}) = \overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{PE} · \overrightarrow{CF} \in [0, 16]$;同理,若点$P$在$CF$上,则$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} \in [0, 16]$;综上可知,当$\lambda \in (7, 16)$时,有$4$个不同的点$P$使得$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} = \lambda$成立.