《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

6. [2024·上海中学期中]已知$A(3,-4)$，$B(-9,2)$两点，点$P$在直线$AB$上，且$|\overrightarrow{AP}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}|$，则点$P$的坐标为(-1, -2)或(7, -6)。

答案： 6.$(-1, -2)$或$(7, -6)$ 【解析】设点$P$的坐标为$(x, y)$。
①若点$P$在线段$AB$上，则$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PB}$，所以$(x - 3, y + 4) = \frac{1}{2}(-9 - x, 2 - y)$，解得$x = -1, y = -2$，所以$P(-1, -2)$；
②若点$P$在线段$BA$的延长线上，则$\overrightarrow{AP} = -\frac{1}{4} \overrightarrow{PB}$，所以$(x - 3, y + 4) = -\frac{1}{4}(-9 - x, 2 - y)$，解得$x = 7, y = -6$，所以$P(7, -6)$。
综上可得，点$P$的坐标为$(-1, -2)$或$(7, -6)$。

7. [2024·阳江一中月考]如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 1$，$\angle CAB = 120^{\circ}$。若点$P$在以$A$为圆心，$AB$为半径的圆弧$\overset{\frown}{BC}$上运动(包含$B$，$C$两个端点)，设$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}(\lambda,\mu \in \mathbf{R})$，求$\lambda\mu$的取值范围。

答案：
7.以$A$为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则$D(1, 0)$，$C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$。设$P(\cos \theta, \sin \theta)$，$\theta \in [0, \frac{2\pi}{3}]$。因为$\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AC} (\lambda, \mu \in \mathbb{R})$，所以$(\cos \theta, \sin \theta) = \lambda(1, 0) + \mu(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$，$\lambda = \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin \theta$，所以$\mu = \frac{2\sqrt{3}}{3} \sin \theta$，所以$\lambda \mu = \frac{2\sqrt{3}}{3} \sin \theta (\cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin \theta) = \frac{\sqrt{3}}{3} \sin 2\theta + \frac{2}{3} \sin^2 \theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \sin 2\theta + \frac{1}{3}(1 - \cos 2\theta) = \frac{1}{3}(\sqrt{3} \sin 2\theta - \cos 2\theta + 1) = \frac{2}{3} \sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{3}$。因为$\theta \in [0, \frac{2\pi}{3}]$，所以$2\theta - \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$，所以$\frac{2}{3} \sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{3} \in [0, 1]$，所以$\lambda \mu \in [0, 1]$。

8. [2024·陕西渭南一中月考]已知$A$，$B$，$C$三点在一条直线上，且$A(3,-6)$，$B(-5,2)$，若$C$点的横坐标为$6$，则$C$点的纵坐标为(C)

A.$-13$
B.$9$
C.$-9$
D.$13$

答案： 8.C 【解析】设$C$点坐标为$(6, y)$，则$\overrightarrow{AC} = (3, y + 6)$。因为$A, B, C$三点共线，$\overrightarrow{AB} = (-8, 8)$，所以$3 × 8 - (y + 6) × (-8) = 0$，所以$y = -9$。故选C.

9. [2024·深圳中学月考]向量$\overrightarrow{OA}=(k,12)$，$\overrightarrow{OB}=(4,5)$，$\overrightarrow{OC}=(10,k)$。若$A$，$B$，$C$三点共线，则$k=$(C)

A.$-2$
B.$11$
C.$-2$或$11$
D.$2$或$-11$

答案： 9.C 【解析】由题意知$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$共线。因为$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (4 - k, -7)$，$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (10 - k, k - 12)$，所以$(4 - k)(k - 12) + 7(10 - k) = 0$，所以$k^2 - 9k - 22 = 0$，解得$k = -2$或$k = 11$。

10. [2024·云南师范大学附中月考]设$\overrightarrow{OA}=(-2,4)$，$\overrightarrow{OB}=(-a,2)$，$\overrightarrow{OC}=(b,0)$，$a \gt 0$，$b \gt 0$，若$A$，$B$，$C$三点共线，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的最小值为\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}。

答案： 10.$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$ 【解析】由题意，得$\overrightarrow{AB} = (-a + 2, -2)$，$\overrightarrow{AC} = (b + 2, -4)$。因为$\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{AC}$，所以$-4(-a + 2) = -2(b + 2)$，整理得$2a + b = 2$，所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}(2a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{1}{2}(3 + \frac{2a}{b} + \frac{b}{a}) \geq \frac{1}{2}(3 + 2\sqrt{\frac{2a}{b} · \frac{b}{a}}) = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$，当且仅当$b = \sqrt{2}a$时，等号成立。

11. [2024·武汉质检]如图所示，在平行四边形$ABCD$中，$A(0,0)$，$B(3,1)$，$C(4,3)$，$D(1,2)$，$M$，$N$分别为$DC$，$AB$的中点，求$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{CN}$的坐标，并判断$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{CN}$是否共线。

答案： 11.由中点坐标公式可得$M(2.5, 2.5)$，$N(1.5, 0.5)$，所以$\overrightarrow{AM} = (2.5, 2.5)$，$\overrightarrow{CN} = (-2.5, -2.5)$。因为$2.5 × (-2.5) - 2.5 × (-2.5) = 0$，所以$\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{CN}$共线。

12. [2024·唐山一中月考]如图，$A(0,5)$，$O(0,0)$，$B(4,3)$，$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$，$AD$与$BC$相交于点$M$，求点$M$的坐标。

答案： 12.因为$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{4}(0, 5) = (0, \frac{5}{4})$，所以$C(0, \frac{5}{4})$。因为$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}(4, 3) = (2, \frac{3}{2})$，所以$D(2, \frac{3}{2})$。设$M(x, y)$，则$\overrightarrow{AM} = (x, y - 5)$。因为$\overrightarrow{AM} // \overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AD} = (2, -\frac{7}{2})$，所以$-\frac{7}{2}x - 2(y - 5) = 0$，即$7x + 4y = 20$。①又$\overrightarrow{CM} = (x, y - \frac{5}{4})$，$\overrightarrow{CB} = (4, \frac{7}{4})$，且$\overrightarrow{CM} // \overrightarrow{CB}$，所以$\frac{7}{4}x - 4(y - \frac{5}{4}) = 0$，即$7x - 16y = -20$。②联立①②解得$x = \frac{12}{7}$，$y = 2$。故点$M$的坐标为$(\frac{12}{7}, 2)$。