《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·黄石一中月考]在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，且$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$，$\tan D = \sqrt{3}$，则四边形ABCD为(C)

A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形

答案： 1.C【解析】因为在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，所以四边形ABCD是平行四边形.因为$\tan D=\sqrt{3}$，所以$B = D = 60^{\circ}$.又$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$，所以$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = BC$，所以四边形ABCD是菱形.

2. (多选)如图，四边形ABCD、四边形CEFG、四边形CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的有(ABD)

A.$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{EF}|$
B.$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{FH}$共线
C.$\overrightarrow{BD}$与$\overrightarrow{EH}$共线
D.$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{FG}$

答案： 2.ABD【解析】由题意可知$AB = EF$，$AB// CD// FG$，$CD = FG$，而$\angle DEH$不一定等于$\angle BDC$，故$BD$与$EH$不一定平行，所以A，B，D一定成立，C不一定成立.故选ABD.

3. [2024·日照一中周练]如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点.设集合$M = \{O,A,B,C,D\}$，集合$T = \{\overrightarrow{PQ} | P,Q \in M$，且$P,Q$不重合$\}$，则集合T中有12个元素.

答案： 3.12【解析】以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个.但这20个向量中有8对向量是相等的，其余4个向量各不相等，即为$\overrightarrow{AO}(\overrightarrow{OC})$，$\overrightarrow{OA}(\overrightarrow{CO})$，$\overrightarrow{DO}(\overrightarrow{OB})$，$\overrightarrow{OD}(\overrightarrow{BO})$，$\overrightarrow{AD}(\overrightarrow{BC})$，$\overrightarrow{DA}(\overrightarrow{CB})$，$\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{DC})$，$\overrightarrow{BA}(\overrightarrow{CD})$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{DB}$，所以由集合中元素的互异性知T中有12个元素.

4. [2024·长沙模拟]如图所示，在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，N，M分别是AD，BC上的点，且$DN = MB$.求证：$\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{MA}$.

答案： 4.证明：因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，所以$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}|$且$AB// DC$，所以四边形ABCD是平行四边形，所以$CB = DA$，$CB// DA$.又因为$DN = MB$，所以$CM = NA$，所以四边形CNAM是平行四边形，所以$CN = MA$，$CN// MA$.因为$\overrightarrow{CN}$与$\overrightarrow{MA}$方向相同，所以$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MA}$.

5. [2024·济南中学月考]已知飞机从甲地沿北偏东30°方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地沿南偏东30°方向飞行2 000 km到达丙地，最后从丙地沿西南方向飞行1 000$\sqrt{2}$ km到达丁地，则丁地在甲地的东南方向，距甲地$1000\sqrt{2}$km.

答案：
5.东南 $1000\sqrt{2}$【解析】如图，用A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地.依题意知$\triangle ABC$为正三角形，所以$AC = 2000km$.因为$\angle ACD = 45^{\circ}$，$CD = 1000\sqrt{2}km$，所以$\triangle ACD$为直角三角形，所以$\angle CAD = 45^{\circ}$，$AD = 1000\sqrt{2}km$.所以丁地在甲地的东南方向，且距甲地$1000\sqrt{2}km$.

6. [2024·郑州一中月考]一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地沿北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，又从C地沿南偏西30°方向行驶2 km才到达B地.
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{AB}$；
（2）求B地相对于A地的位置.

答案：
6.
(1)$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{AB}$如图所示.

(2)由题意知$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，所以四边形ABCD为平行四边形，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，所以B地在A地北偏东60°方向，距离A地6km处.