《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·湖北仙桃中学月考](多选)设$m,n$是两条不同的直线,$\alpha,\beta$是两个不同的平面,给出如下命题,其中正确的有(AC)

A.若$\alpha\perp\beta,\alpha\cap\beta = m,n\subset\alpha,n\perp m$,则$n\perp\beta$
B.若$\alpha\perp\beta,n\perp\beta,n\perp m$,则$m\perp\alpha$
C.若$\alpha\perp\beta,m\perp\beta,m\not\subset\alpha$,则$m//\alpha$
D.若$\alpha\perp\beta,m//\alpha$,则$m\perp\beta$

答案： 1.AC[解析]根据平面与平面垂直的性质知A正确;B中，$m$还可能在$\alpha$内或$m// \alpha$或$m$与$\alpha$斜交，不正确;C中，$\alpha\perp\beta$，$m\perp\beta$，$m⊄\alpha$时，只可能有$m//\alpha$，正确;D中，$m$与$\beta$的位置关系还可能是$m//\beta$或$m\subset\beta$或$m$与$\beta$斜交，不正确.故选AC.

2. [2024·铜陵一中期末]已知异面直线$a,b$所成的角为$70^{\circ},A$为空间中一点,则过$A$且与直线$a,b$所成的角都为$55^{\circ}$的平面个数为(A)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
2.A[解析]如图，过A作$a^{\prime}// a$，$b^{\prime}// b$，设直线$a^{\prime}$，$b^{\prime}$确定的平面为$\alpha$，因为异面直线$a$，$b$所成的角为$70^{\circ}$，所以直线$a^{\prime}$，$b^{\prime}$所成的锐角为$70^{\circ}$.设过A点的平面$\beta$与$a^{\prime}$，$b^{\prime}$所成的角相等，$\alpha\cap\beta = l$，则$l$平分直线$a^{\prime}$，$b^{\prime}$所成的锐角或钝角.
①若$l$平分直线$a^{\prime}$，$b^{\prime}$所成的锐角，则当$\alpha\perp\beta$时，直线$a^{\prime}$，$b^{\prime}$与平面$\beta$所成的角最大，最大角为$35^{\circ}$，故此时没有符合条件的平面.
②若$l$平分直线$a^{\prime}$，$b^{\prime}$所成的钝角，则当$\alpha\perp\beta$时，直线$a^{\prime}$，$b^{\prime}$与平面$\beta$所成的角最大，最大角为$55^{\circ}$，故此时符合条件的平面有1个.
又$a^{\prime}// a$，$b^{\prime}// b$，所以$a$，$b$与平面$\beta$所成的角等于$a^{\prime}$，$b^{\prime}$与平面$\beta$所成的角，所以过A且与直线$a$，$b$所成的角为$55^{\circ}$的平面只有1个.

3. [2024·天津静海一中期中]如图1所示,在正方形$ABCD$中,$M,N$分别是$AB,CD$的中点,沿$MN$将四边形$MBCN$折起,使点$B,C$分别落在$B_1,C_1$处,且二面角$B_1 - MN - A$的大小为$120^{\circ}$,如图2所示,则$B_1D$与平面$AMND$所成的角的正切值为(C)

A.$\frac{\sqrt{2}}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

答案： 3.C[解析]过点$B_1$作$B_1E\perp AB$于点E，连接DE.由题意，知$\angle B_1MA$为二面角$B_1 -MN-A$的平面角，$\angle B_1DE$为$B_1D$与平面$AMND$所成的角.设$AB = 2$，则$MB_1 = 1$，又$\angle B_1MA = 120^{\circ}$，所以$\angle B_1ME = 60^{\circ}$，则$ME=\frac{1}{2}$，$B_1E = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则$DE = \sqrt{(1 + \frac{1}{2})^2 + 2^2} = \frac{5}{2}$，所以$\tan\angle B_1DE = \frac{B_1E}{DE} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.故选C.

4. [2024·烟台一中期末](多选)如图,$PA$垂直于以$AB$为直径的圆所在的平面,$C$是圆周上异于点$A,B$的任一点,则下列结论中正确的有(BD)

A.$PB\perp AC$
B.$PC\perp BC$
C.$AC\perp$平面$PBC$
D.平面$PAC\perp$平面$PBC$

答案： 4.BD[解析]因为$PA$垂直于以$AB$为直径的圆所在的平面，所以$PA\perp AC$，$PA\perp BC$.又直径所对的圆周角为直角，所以$BC\perp AC$.若$PB\perp AC$，由$BC\cap PB = B$，可得$AC\perp$平面$PBC$，从而$AC\perp PC$，与$AC\perp PA$矛盾，所以A，C错误.因为$PA\cap AC = A$，所以$BC\perp$平面$PAC$，从而$PC\perp BC$，所以B正确.因为$BC\subset$平面$PBC$，所以平面$PAC\perp$平面$PBC$，所以D正确.

5. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 如图,在堑堵$ABC - A_1B_1C_1$中,$AC\perp BC$,且$AA_1 = AB = 2$,则下列说法错误的是(C)

A.四棱锥$B - A_1ACC_1$为“阳马”
B.四面体$A_1 - C_1CB$为“鳖臑”
C.四棱锥$B - A_1ACC_1$的体积最大为$\frac{2}{3}$
D.过$A$点分别作$AE\perp A_1B$于点$E,AF\perp A_1C$于点$F$,则$EF\perp A_1B$

答案： 5.C[解析]由题意知在堑堵$ABC -A_1B_1C_1$中，$AC\perp BC$，侧棱$AA_1\perp$平面$ABC$，对于A，因为$AA_1\perp BC$，$AC\perp BC$，且$AA_1\cap AC = A$，所以$BC\perp$平面$AA_1C_1C$，且$AA_1C_1C$为矩形，所以四棱锥$B -A_1ACC_1$为“阳马”，故A正确;对于B，因为$A_1C_1\perp BC$，$A_1C_1\perp C_1C$，且$C_1C\cap BC = C$，所以$A_1C_1\perp$平面$BB_1C_1C$，所以$A_1C_1\perp BC_1$，则$\triangle A_1BC_1$为直角三角形，由$BC\perp$平面$AA_1C_1C$，得$\triangle A_1BC$，$\triangle CC_1B$为直角三角形，由“堑堵”的定义可得$\triangle A_1C_1C$为直角三角形，所以四面体$A_1 -C_1CB$为“鳖臑”，故B正确;对于C，在底面，有$4 = AC^2 + BC^2\geq 2AC· BC$，即$AC· BC\leq 2$，当且仅当$AC = BC$时取等号，则$V_{三棱锥B -A_1ACC_1} = \frac{1}{3}S_{矩形A_1ACC_1}· BC = \frac{1}{3}AA_1· AC· BC = \frac{2}{3}AC· BC\leq \frac{4}{3}$，故四棱锥$B -A_1ACC_1$的体积最大为$\frac{4}{3}$，故C不正确;对于D，由A知$BC\perp$平面$AA_1C_1C$，则$BC\perp AF$，又$AF\perp A_1C$，且$A_1C\cap BC = C$，则$AF\perp$平面$A_1BC$，所以$AF\perp A_1B$，又$AE\perp A_1B$，且$AF\cap AE = A$，所以$A_1B\perp$平面$AEF$，所以$A_1B\perp EF$，故D正确.故选C.

6. [2024·金华一中月考]如图,已知四棱锥$S - ABCD$的底面是正方形,侧棱长均相等,$E$是线段$AB$上的点(不含端点). 设$SE$与$BC$所成的角为$\alpha,SE$与平面$ABCD$所成的角为$\beta$,二面角$S - AB - C$的平面角为$\gamma$,则(C)

A.$\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma$
B.$\beta\leqslant\alpha\leqslant\gamma$
C.$\beta\leqslant\gamma\leqslant\alpha$
D.$\gamma\leqslant\beta\leqslant\alpha$

答案：
6.C[解析]如图，过点S作底面的垂线$SO$，垂足为$O$.因为四棱锥$S -ABCD$的底面是正方形，且侧棱长均相等，所以$O$为正方形$ABCD$的中心.连接$EO$，则$SO\perp EO$，所以$\angle SEO = \beta$.
取$F$为$AB$的中点，连接$OF$，$SF$.因为$SA = SB$，所以$SF\perp AB$，$OF\perp AB$，所以$\angle SFO$为二面角$S -AB-C$的平面角，所以$\angle SFO = \gamma$.过点E作$BC$的平行线，过点$O$作$AB$的平行线，相交于点$G$，则$\angle SEG$为$SE$与$BC$所成的角，所以$\angle SEG = \alpha$.
连接$SG$，因为$SO\perp$底面$ABCD$，所以$SO\perp EG$，又$EG\perp OG$，$SO\cap OG = O$，所以$EG\perp$平面$SOG$，所以$EG\perp SG$.在$Rt\triangle SOF$与$Rt\triangle SOE$中，有$\sin\gamma = \frac{SO}{SF}$，$\sin\beta = \frac{SO}{SE}$，而$SE ＞ SF$，所以$\sin\gamma ＞ \sin\beta$，得$\gamma ＞ \beta$($\gamma$，$\beta$均为锐角).在$Rt\triangle SGE$与$Rt\triangle SOF$中，有$\tan\alpha = \frac{SG}{EG}$，$\tan\gamma = \frac{SO}{OF}$，而$SG ＞ SO$，$EG = OF$，所以$\tan\alpha ＞ \tan\gamma$，得$\alpha ＞ \gamma$($\alpha$，$\gamma$均为锐角).当点E与点F重合时，$\alpha = \beta = \gamma$.综上，$\beta\leq\gamma\leq\alpha$.故选C.

7. [2024·南昌调研]如图,在直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中,底面是$\angle ABC$为直角的等腰直角三角形,$AC = 2a,BB_1 = 3a,D$为$A_1C_1$的中点,点$F$在线段$AA_1$上,当$AF =$$a$或$2a$时,$CF\perp$平面$B_1DF$.

答案： 7.$a$或$2a$[解析]由已知得$B_1D_1\perp$平面$ACC_1A_1$.因为$CFC_1\subset$平面$ACC_1A_1$，所以$B_1D_1\perp CF$，故若$CF\perp$平面$B_1DF$，则必有$CF\perp DF$.设$AF = x$，则$0 ＜ x ＜ 3a$，所以$CF^2 = x^2 + 4a^2$，$DF^2 = a^2 + (3a - x)^2$.又$CD^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$，所以$10a^2 = x^2 + 4a^2 + a^2 + (3a - x)^2$，解得$x = a$或$2a$.所以当$AF = a$或$2a$时，$CF\perp$平面$B_1DF$.