《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·长沙一中月考]已知 $ O $ 是平面上一定点，$ A $，$ B $，$ C $ 是平面上不共线的三点，动点 $ P $ 满足 $ \overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C}) $，$ \lambda\in[0,+\infty) $，则点 $ P $ 的轨迹经过 $ \triangle ABC $ 的（A）

A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心

答案： 1.A 【解析】设$BC$的中点为$D$.
因为$\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C})$
所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OD}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C})$.
即$\overrightarrow{DP}=\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C})$.因为$\overrightarrow{DP}·\overrightarrow{BC}=\lambda(\frac{\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B}+\frac{\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C})=\lambda(-|\overrightarrow{BC}|+|\overrightarrow{BC}|)=0$，
所以$\overrightarrow{DP}\perp\overrightarrow{BC}$,所以点$P$在$BC$的垂直平分线上,即点$P$的轨迹经过$\triangle ABC$的外心.

2. [2024·成都石室中学期末]在 $ \triangle ABC $ 中，若动点 $ P $ 满足 $ \overrightarrow{CA}^2=\overrightarrow{CB}^2 - 2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CP} $，则 $ P $ 点轨迹一定通过 $ \triangle ABC $ 的(A)

A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心

答案： 2.A 【解析】由题意得$2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}^{2}-\overrightarrow{CA}^{2}=(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})·(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})$,即$2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})$,所以$\overrightarrow{AB}·(2\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AP})=0$,所以以$\overrightarrow{BP},\overrightarrow{AP}$为邻边的平行四边形的对角线互相垂直.所以点$P$在线段$AB$的中垂线上.故选A.

3. [2024·南昌二中期中]设点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心，$ AB = 13 $，$ AC = 12 $，则 $ \overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AO} = $$-\frac{25}{2}$。

答案：
3.$-\frac{25}{2}$【解析】设$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$为平面$ABC$内的一组基底.如图所示，设$M$为$BC$的中点，连接$OM,AM,OA$,则$OM\perp BC$.

因为$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO}$,
所以$\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BC}·(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}^{2}-\overrightarrow{AB}^{2})+\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{MO}=\frac{1}{2}×(12^{2}-13^{2})=-\frac{25}{2}$.

4. [2024·安庆质检]在 $ \triangle ABC $ 中，$ O $ 为其外心，$ \overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OC}=\sqrt{3} $，且 $ \sqrt{3}\overrightarrow{OA}+\sqrt{7}\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0 $，则边 $ AC $ 的长是$\sqrt{3}-1$。

答案： 4.$\sqrt{3}-1$【解析】设$\triangle ABC$外接圆的半径为$R$，因为$O$为$\triangle ABC$的外心，所以$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=R$.又$\sqrt{3}\overrightarrow{OA}+\sqrt{7}\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0$,所以$\sqrt{3}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=-\sqrt{7}\overrightarrow{OB}$,所以$3\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OC}=7\overrightarrow{OB}^{2}$,从而$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2}R^{2}$.又$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OC}=\sqrt{3}$,所以$R^{2}=2$.又$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|\cos\angle AOC=R^{2}\cos\angle AOC=\sqrt{3}$,所以$\cos\angle AOC=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$\angle AOC=\frac{\pi}{6}$.在$\triangle AOC$中,由余弦定理得$AC^{2}=OA^{2}+OC^{2}-2OA· OC·\cos\angle AOC=R^{2}+R^{2}-2R^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=(2-\sqrt{3})R^{2}=4-2\sqrt{3}$.所以$AC=\sqrt{3}-1$.

5. [2024·长治二中月考]若 $ O $ 为空间中一定点，动点 $ P $ 在由 $ A $，$ B $，$ C $ 三点确定的平面内，且满足 $ (\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})·(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}) = 0 $，则点 $ P $ 的轨迹一定过 $ \triangle ABC $ 的(D)

A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心

答案： 5.D 【解析】因为$(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})·(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=0$,所以$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{CB}=0$,所以$AP$为$BC$边的高,所以点$P$的轨迹一定过$\triangle ABC$的垂心.故选D.

6. [2024·青岛二中周练]$ O $ 是 $ \triangle ABC $ 所在平面内的一点，满足 $ \overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}·\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}·\overrightarrow{OA} $，则 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的(D)

A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点

答案： 6.D 【解析】由$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}·\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}·\overrightarrow{OA}$,可得$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB}·\overrightarrow{OC}=0$,即$(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})·\overrightarrow{OB}=0$,即$\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{OB}=0$,所以$\overrightarrow{OB}\perp\overrightarrow{CA}$,同理可证$\overrightarrow{OC}\perp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{BC}$,所以$O$是$\triangle ABC$的垂心,即三条高的交点.

7. [2024·安庆一中期末]三个不共线的向量 $ \overrightarrow{OA} $，$ \overrightarrow{OB} $，$ \overrightarrow{OC} $，满足 $ \overrightarrow{OA}·(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|})=\overrightarrow{OB}·(\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}+\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|})=\overrightarrow{OC}·(\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}+\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}) = 0 $，则 $ O $ 为 $ \triangle ABC $ 的(A)

A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心

答案： 7.A 【解析】由题意可知,$\overrightarrow{OA}$与$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}=\overrightarrow{AE}$($E$在$\angle BAC$的外角平分线上)垂直，所以$O$在$\angle BAC$的平分线上.同理,$O$在$\angle ABC$的平分线上,$O$在$\angle ACB$的平分线上,故$O$为$\triangle ABC$的内心.

8. [2024·马鞍山模拟]已知 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 所在平面内的一点，$ \angle A $，$ \angle B $，$ \angle C $ 所对的边分别为 $ a $，$ b $，$ c $。若 $ a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}=0 $，则 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的(A)

A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心

答案： 8.A 【解析】因为$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}$,所以$a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}=a\overrightarrow{OA}+b(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO})+c(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO})=b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}-(a+b+c)\overrightarrow{AO}$.因为$a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}=0$,所以$(a+b+c)\overrightarrow{AO}=b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}$,即$\overrightarrow{AO}=\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}$.记$\overrightarrow{AB}=c\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{AC}=b\overrightarrow{n_{2}}$，其中$\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$分别表示$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$方向上的单位向量,则$\overrightarrow{AO}=\frac{bc}{a+b+c}\overrightarrow{n_{1}}+\frac{bc}{a+b+c}\overrightarrow{n_{2}}$.由该式可以看出$AO$平分$\angle BAC$,同理可得$BO$平分$\angle ABC,CO$平分$\angle ACB$,故$O$为$\triangle ABC$的内心.故选A.

9. [2024·六安一中期中]在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ AC = 6 $，$ \cos A = \frac{1}{5} $，$ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的内心，若 $ \overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC} $，其中 $ x $，$ y\in[0,1] $，则动点 $ P $ 的轨迹所覆盖图形的面积为(B)

A.$ \frac{10\sqrt{6}}{3} $
B.$ \frac{14\sqrt{6}}{3} $
C.$ 4\sqrt{3} $
D.$ 6\sqrt{2} $

答案： 9.B 【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知,动点$P$的轨迹是以$OB,OC$为邻边的平行四边形及其内部,其面积为$\triangle BOC$的面积的$2$倍.
在$\triangle ABC$中,设内角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,由余弦定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$,得$a=7$.
设$\triangle ABC$的内切圆的半径为$r$,则$\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}(a+b+c)r$,解得$r=\frac{2\sqrt{6}}{3}$,所以$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}ar=\frac{1}{2}×7×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{7\sqrt{6}}{3}$.故动点$P$的轨迹所覆盖图形的面积为$2S_{\triangle BOC}=\frac{14\sqrt{6}}{3}$.