《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

9. [2022·全国卷乙卷]记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin C sin(A - B) = sin B sin(C - A)。
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)证明：2a² = b² + c²。

答案： 9.
(1)因为$\sin C\sin(A-B)=\sin B\sin(C-A)$，$A=2B$，所以$\sin C\sin B=\sin B\sin(C-A)$.又因为$\sin B\neq0$，所以$\sin C=\sin(C-A)$，所以$C=C-A$(无解)或$C+C-A=\pi$，所以$2C-A=\pi$.又$A+B+C=\pi$，$A=2B$，解得$C=\frac{5\pi}{8}$.
(2)证明：因为$\sin C\sin(A-B)=\sin B\sin(C-A)$，所以$\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A$，所以由正弦定理，得$a\cos B-b\cos A=b\cos A-a\cos C$，即$2b\cos A=a\cos C+a\cos B$，由余弦定理，得$2b·\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=ab·\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+ac·\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，即$2(b^{2}+c^{2}-a^{2})=a^{2}+b^{2}-c^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}$，整理得$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$.

10. 在① b cos A cos C = a sin B sin C - $\frac{1}{2}$b，② b sin B cos C + $\frac{1}{2}$c sin 2B = $\sqrt{3}$a cos B，③ $\frac{b cos A}{cos B}$ + a = 2c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答。
问题：在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，D 是 BC 上的一点，BC = 2BD ＞ AB，AD = 2$\sqrt{7}$，AB = 6。若_，求△ACD 的面积。
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。

答案： 10.若选择条件①.
由题意及正弦定理得$\sin B\cos A\cos C=\sin A\sin B\sin C-\frac{1}{2}\sin B$，因为$\sin B\neq0$，所以$\cos A\cos C-\sin A\sin C=-\frac{1}{2}$，即$\cos(A+C)=-\frac{1}{2}$.因为$A+C=\pi-B$，所以$\cos(A+C)=-\cos B=-\frac{1}{2}$，即$\cos B=\frac{1}{2}$.因为$0＜B＜\pi$，所以$B=\frac{\pi}{3}$.
在$\triangle ABD$中，由余弦定理可得$AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2AB· BD\cos B$，即$28=36+BD^{2}-2×6× BD×\frac{1}{2}$，解得$BD=4$或$BD=2$.
因为$BC=2BD＞AB=6$，所以$BD=4$.
所以$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB· BD\sin B=\frac{1}{2}×6×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$.
若选择条件②.
由题意及正弦定理得$\sin^{2}B\cos C+\frac{1}{2}\sin C\sin2B=\sqrt{3}\sin A\cos B$，即$\sin^{2}B\cos C+\sin C\sin B\cos B=\sqrt{3}\sin A\cos B$，故$\sin B\sin(B+C)=\sqrt{3}\sin A\cos B$.因为$\sin(B+C)=\sin A\neq0$，所以$\sin B=\sqrt{3}\cos B$，所以$\tan B=\sqrt{3}$.因为$0＜B＜\pi$，所以$B=\frac{\pi}{3}$.
以下同选择条件①.
若选择条件③.
由题意及正弦定理得$\sin B\cos A+\sin A\cos B=2\sin C·\cos B$，即$\sin(B+A)=2\sin C\cos B$.因为$\sin(B+A)=\sin C\neq0$，所以$\cos B=\frac{1}{2}$.因为$0＜B＜\pi$，所以$B=\frac{\pi}{3}$.
以下同选择条件①.

11. [2024·日照一中期中]在△ABC 中，已知 BC = 5$\sqrt{3}$，外接圆半径为 5。若$\overrightarrow{AB}$·$\overrightarrow{AC}$ = $\frac{11}{2}$，则△ABC 的周长为 (A)

A.11$\sqrt{3}$
B.9$\sqrt{3}$
C.7$\sqrt{3}$
D.5$\sqrt{3}$

答案： 11.A 【解析】设内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，由正弦定理得$\frac{5\sqrt{3}}{\sin A}=2×5$，所以$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$A=60^{\circ}$或$120^{\circ}$.因为$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=\frac{11}{2}＞0$，所以$A=60^{\circ}$，$b\cos60^{\circ}=\frac{11}{2}$，所以$bc=11$.因为$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos60^{\circ}=b^{2}+c^{2}-bc=(b+c)^{2}-3bc=75$，所以$(b+c)^{2}=108$，所以$a+b+c=5\sqrt{3}+6\sqrt{3}=11\sqrt{3}$.

12. [2024·威海模拟]在△ABC 中，A 为钝角，AC = 3，向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影向量的模为 2，且△ABC 的面积为 3，则 BC = (C)

A.5
B.2$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{29}$
D.$\sqrt{2}$

答案： 12.C 【解析】由题意知$|\overrightarrow{AB}|\cos A=-2$.①
$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin A=\frac{3}{2}|\overrightarrow{AB}|\sin A=3$，即$|\overrightarrow{AB}|\sin A-2$.②
由①②，得$\tan A=-1$，所以$A=\frac{3\pi}{4}$，所以$|\overrightarrow{AB}|=\frac{2}{\sin\frac{3\pi}{4}}=2\sqrt{2}$.在$\triangle ABC$中，由余弦定理得$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB· AC·\cos\frac{3\pi}{4}=(2\sqrt{2})^{2}+3^{2}-2×2\sqrt{2}×3×(-\frac{\sqrt{2}}{2})=29$，所以$BC=\sqrt{29}$.故选C.

13. [2024·哈尔滨三中月考]已知 A，B，C 是△ABC 的三个内角，向量 m = (cos B，sin B - 2 sin C)，n = (2 cos C + cos B，sin B)，且 m ⊥ n。
(1)求 A；
(2)若 BC = $\sqrt{3}$，求 AB + AC 的取值范围。

答案： 13.
(1)由$m\perp n$，得$m· n=0$，即$\cos B(2\cos C+\cos B)+(\sin B-2\sin C)\sin B=0$，则$2(\cos B\cos C-\sin B\sin C)+(\cos^{2}B+\sin^{2}B)=0$，即$2\cos(B+C)+1=0$，故$\cos(B+C)=-\frac{1}{2}$.
因为$B+C\in(0,\pi)$，所以$B+C=\frac{2\pi}{3}$，所以$A=\frac{\pi}{3}$.
(2)因为$A=\frac{\pi}{3}$，$BC=\sqrt{3}$，所以由正弦定理得$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=2$，所以$AB=2\sin C$，$AC=2\sin B=2\sin(\frac{2\pi}{3}-C)$，所以$AB+AC=2\sin C+2\sin(\frac{2\pi}{3}-C)$
$=2\sin C+2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C+\frac{1}{2}\sin C)$
$=3\sin C+\sqrt{3}\cos C$
$=2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C+\frac{1}{2}\cos C)$
$=2\sqrt{3}\sin(C+\frac{\pi}{6})$.
因为$C\in(0,\frac{2\pi}{3})$，所以$C+\frac{\pi}{6}\in(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6})$，所以$\sin(C+\frac{\pi}{6})\in(\frac{1}{2},1]$，所以$2\sqrt{3}\sin(C+\frac{\pi}{6})\in(\sqrt{3},2\sqrt{3}]$，即$AB+AC$的取值范围是$(\sqrt{3},2\sqrt{3}]$.