《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·河北武邑中学月考]用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形△A'B'C'.已知 O'是斜边 B'C'的中点，且 A'O'=1，则△ABC 的边 BC 边上的高为(D)

A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 1.D[解析]因为直观图是等腰直角三角形$A'B'C'$，$\angle B'A'C'=90^{\circ}$，$A'O'=1$，所以$A'C'=\sqrt{2}$.根据直观图中平行于$y$轴的长度变为原来的一半，所以$\triangle ABC$的边$BC$上的高$AC=2A'C'=2\sqrt{2}$.故选D

2. [2024·武汉六中月考]如图，PO⊥平面 ABC，BO⊥AC 于 D，在图中与 AC 垂直的直线有(D)

A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条

答案： 2.D[解析]因为$PO\perp$平面$ABC$，$AC\subset$平面$ABC$，所以$PO\perp AC$.又因为$AC\perp BO$，$PO\subset$平面$PBD$，$BD\subset$平面$PBD$，$PO\cap BO=O$，所以$AC\perp$平面$PBD$，所以平面$PBD$中有$4$条直线$PB$，$PD$，$PO$，$BD$与$AC$垂直；故选D.

3. [2024·三明一中月考]已知直线 a 和平面α，那么能得出 a//α 的一个条件是(C)

A.存在一条直线 b，a//b 且 b⊂α
B.存在一条直线 b，a//b 且 b⊄α
C.存在一个平面β，a⊂β 且α//β
D.存在一个平面β，a//β 且α//β

答案： 3.C[解析]在选项$A$，$B$，$D$中，均有可能$a$在平面$\alpha$内，故错误；在$C$中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，故$C$正确.

4. [2023·全国卷甲卷]已知四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 4 的正方形，PC = PD = 3，∠PCA = 45°，则△PBC 的面积为(C)

A.$2\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2}$

答案：
4.C[解析]如图，连接$AC$，$BD$交于$O$，连接$PO$，则$O$为$AC$，$BD$的中点.
因为底面$ABCD$为正方形，边长为$4$，所以$AC=BD=4\sqrt{2}$，则$DO=CO=2\sqrt{2}$.
又$PC=PD=3$，$PO=OP$，所以$\triangle PDO\cong\triangle PCO$，则$\angle PDO=\angle PCO$.
又$PC=PD=3$，$AC=BD=4\sqrt{2}$，所以$\triangle PDB\cong\triangle PCA$，则$PA=PB$.
在$\triangle PAC$中，$PC=3$，$\angle PCA=45^{\circ}$，$AC=4\sqrt{2}$，由余弦定理得$PA^{2}=PC^{2}+AC^{2}-2PC· AC·\cos45^{\circ}=9 + 32 - 2×3×4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=17$，则$PA=PB=\sqrt{17}$.
在$\triangle PBC$中，由余弦定理得$\cos\angle PCB=\frac{PC^{2}+BC^{2}-PB^{2}}{2PC· BC}=\frac{9 + 16 - 17}{2×3×4}=\frac{1}{3}$，则$\sin\angle PCB=\sqrt{1 - \cos^{2}\angle PCB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
所以$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}PC· BC·\sin\angle PCB=\frac{1}{2}×3×4×\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$.故选C;

5. [2024·温州中学月考]“敕勒川，阴山下.天似穹庐，笼盖四野……”诗中的“穹庐”即“毡帐”，屋顶近似圆锥，为了烘托节日气氛，计划在屋顶安装灯光带.某个屋顶的圆锥底面直径长 8 米，母线长 6 米，其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始，沿侧面经过与该母线在同一轴截面的另一母线的中点，环绕一圈回到起点，则这条灯光带的最短长度是(B)

A.$6\sqrt{3}$米
B.$6\sqrt{7}$米
C.$3\sqrt{3}$米
D.$3\sqrt{7}$米

答案： 5.B[解析]将侧面沿母线$SA$展开，$A$点对应于点$A_1$，轴截面对应的另一条母线为$SB$，$SB$的中点为$C$，连接$AC$，$A_1C$，则$AC + A_1C$为灯光带的最短长度，如图所示.因为$SA = 6$，底面圆的直径为$8$，则半径为$4$，所以$\widehat{AB}=4\pi$，所以$\angle ASB=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$，又$SC = 3$，由余弦定理得，$AC^{2}=6^{2}+3^{2}-2×6×3×\cos\frac{2\pi}{3}=63$，解得$AC = 3\sqrt{7}$，所以$A_1C = AC = 3\sqrt{7}$，所以灯光带的最短长度为$2AC = 6\sqrt{7}$（米）.

6. [2024·江苏镇江中学月考]已知正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，则直线 AA₁ 到平面 BB₁D₁D 的距离是(C)

A.1
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案：
6.C[解析]如图所示，连接$AC$交$BD$于点$O$.因为$AA_1// BB_1$，$AA_1\not\subset$平面$BB_1D_1D$，$BB_1\subset$平面$BB_1D_1D$，所以$AA_1//$平面$BB_1D_1D$，所以点$A$到平面$BB_1D_1D$的距离即直线$AA_1$到平面$BB_1D_1D$的距离.易得$AC\perp$平面$BB_1D_1D$，故$AO$即点$A$到平面$BB_1D_1D$的距离，$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，所以直线$AA_1$到平面$BB_1D_1D$的距离为$\sqrt{2}$.故选C.

7. [2024·河南师大附中月考]已知正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 的体积为 $16\sqrt{2}$，点 P 在平面 A₁B₁C₁D₁ 上，且点 A₁，C 与点 P 间的距离分别为 2，$2\sqrt{3}$，则直线 CP 与平面 BDD₁B₁ 所成角的正弦值为(B)

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 7.B[解析]如图所示，设正方体的棱长为$a$，则$a^{3}=16\sqrt{2}$，故$a = 2\sqrt{2}$，即$AB = 2\sqrt{2}$.连接$A_1C_1$，$A_1C_1=\sqrt{2}a = 4$，$C_1P=\sqrt{CP^{2}-CC_{1}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=2$.又$A_1P = 2$，所以$P$在$A_1C_1$上且为中点.连接$AC$与$BD$交于点$O$，连接$OP$.易知$AC\perp$平面$BDD_1B_1$，则$\angle CPO$为直线$CP$与平面$BDD_1B_1$所成角.在直角三角形$COP$中，$\sin\angle CPO=\frac{OC}{PC}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.故选B.

8. [2024·忻州二中月考]如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，AD 的中点，将△ABF 沿 BF 所在的直线进行翻折，将△CDE 沿 DE 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是(D)


A.无论翻折到什么位置，A，C 两点都不可能重合
B.存在某个位置，使得直线 AF 与直线 CE 所成的角为 60°
C.存在某个位置，使得直线 AF 与直线 CE 所成的角为 90°
D.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 所成的角为 90°

答案： 8.D[解析]在$A$中，点$A$与点$C$一定不重合，故$A$正确；在$B$中，存在某个位置，使得直线$AF$与直线$CE$所成的角为$60^{\circ}$，故$B$正确；在$C$中，当平面$ABF\perp$平面$BEDF$，平面$DCE\perp$平面$BEDF$时，直线$AF$与直线$CE$垂直，故$C$正确；在$D$中，直线$AB$与直线$CD$不可能垂直，故$D$错误.故选D.