《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

18. [2024·江苏启东中学月考]（17 分）在平面直角坐标系中，$O$ 为坐标原点，已知向量 $\boldsymbol{a}=(-1,2)$，点 $A(8,0)$，$B(n,t)$，$C(k\sin\theta,t)(0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2})$.
（1）若 $\overrightarrow{AB}\perp\boldsymbol{a}$，且 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}|\overrightarrow{OA}|$，求向量 $\overrightarrow{OB}$；
（2）若向量 $\overrightarrow{AC}$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 共线，当 $k\gt4$，且 $t\sin\theta$ 取最大值 4 时，求 $\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OC}$.

答案： 18.
(1)由题意知$\overrightarrow{AB}=(n - 8,t)$。
因为$\overrightarrow{AB}\perp a$，所以$8 - n + 2t = 0$。
又因为$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}|\overrightarrow{OA}|$，所以$(n - 8)^2 + t^2 = 5×64$，即$5t^2 = 5×64$，解得$t = \pm8$。
当$t = 8$时，$n = 24$；当$t = -8$时，$n = -8$，
所以$\overrightarrow{OB}=(24,8)$或$\overrightarrow{OB}=(-8,-8)$。
(2)由题意知$\overrightarrow{AC}=(k\sin\theta - 8,t)$。
因为$\overrightarrow{AC}$与a共线，所以$t=-2k\sin\theta + 16$，
所以$t\sin\theta=(-2k\sin\theta + 16)\sin\theta=-2k(\sin\theta-\frac{4}{k})^2+\frac{32}{k}$。
因为$k＞4$，所以$0＜\frac{4}{k}＜1$，
所以当$\sin\theta=\frac{4}{k}$时，$t\sin\theta$取得最大值$\frac{32}{k}$。
由$\frac{32}{k}=4$，得$k = 8$，此时$\theta=\frac{\pi}{6}$，$\overrightarrow{OC}=(4,8)$。
所以$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OC}=8×4+0×8=32$。

19. [2024·衡水中学月考]（17 分）某港口 $O$ 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 $O$ 北偏西 $30^{\circ}$ 且与该港口相距 20 海里的 $A$ 处，并以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 $v$ 海里/时的航行速度匀速行驶，经过 $t$ 小时与轮船相遇.
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

答案：
19.
(1)设相遇时小艇航行距离为s海里，则
$s=\sqrt{900t^2+400-2×30t×20×\cos(90^{\circ}-30^{\circ})}=\sqrt{900t^2-600t+400}=\sqrt{900(t-\frac{1}{3})^2+300}$
所以当$t=\frac{1}{3}$时，$s_{min}=10\sqrt{3}$，此时$v=\frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{3}}=30\sqrt{3}$(海里/时)。
即小艇以$30\sqrt{3}$海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。
(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇，则
$s^2=v^2t^2=400+900t^2-2×20×30t×\cos(90^{\circ}-30^{\circ})$，所以$v^2=900-\frac{600}{t}+\frac{400}{t^2}$，
又因为$0＜v\leq30$，
所以$900-\frac{600}{t}+\frac{400}{t^2}\leq900$，所以$\frac{2}{t^2}-\frac{3}{t}\leq0$，解得$t\geq\frac{2}{3}$。又当$t=\frac{2}{3}$时，$v = 30$。故当$v = 30$时，$t_{min}=\frac{2}{3}$，此时$OA = OB = AB = 20$，
所以$\triangle OAB$为等边三角形，$\angle BOC = 30^{\circ}$
故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东$30^{\circ}$，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇。