《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

8. [2024·泰安一中期中]已知$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是平面内两个不共线的向量，$\boldsymbol{a}=3\boldsymbol{e}_{1}-2\boldsymbol{e}_{2}$，$\boldsymbol{b}=-2\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}$，$\boldsymbol{c}=7\boldsymbol{e}_{1}-4\boldsymbol{e}_{2}$，用向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$表示$\boldsymbol{c}=$$a - 2b$。

答案： 8.$a - 2b$【解析】因为$a$，$b$不共线，设$c = xa + yb$，则$xa + yb = x(3\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2) + y(-2\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2) = (3x - 2y)\boldsymbol{e}_1 + (-2x + y)\boldsymbol{e}_2 = 7\boldsymbol{e}_1 - 4\boldsymbol{e}_2$.又因为$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$不共线，所以$\begin{cases}3x - 2y = 7\\-2x + y = -4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}$，所以$c = a - 2b$.

9. [2024·武汉外国语学校月考]下列说法中正确的个数是(C)
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 9.C【解析】由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误，易知①②④正确.故选C.

10. [2024·惠州一中单元检测]已知$\overrightarrow{AB}=(-2,4)$，则下列说法正确的是(D)

A.A 点的坐标是$(-2,4)$
B.B 点的坐标是$(-2,4)$
C.当 B 是原点时，A 点的坐标是$(-2,4)$
D.当 A 是原点时，B 点的坐标是$(-2,4)$

答案： 10.D【解析】由向量的坐标表示方法可知，当$A$点是原点时，$B$点的坐标是$(-2,4)$.

11. [2024·温州三中月考]如果用$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$分别表示 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量，且$A(2,3)$，$B(4,2)$，则$\overrightarrow{AB}$可以表示为(C)

A.$2\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}$
B.$4\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}$
C.$2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}$
D.$-2\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}$

答案： 11.C【解析】记$O$为坐标原点，则$\overrightarrow{OA}=2\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}$，$\overrightarrow{OB}=4\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}$，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}$.

12. [2024·徐州一中月考]如图，在$6×6$的方格中，已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$的起点和终点均为格点，且满足$\boldsymbol{c}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$($x$，$y\in\mathbf{R}$)，那么$x + y=$3。

答案： 12.3【解析】分别设方向向右和向上的单位向量为$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，则$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{c}=4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}$，因为$\boldsymbol{c}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=(2x+y)\boldsymbol{i}+(2y-x)\boldsymbol{j}$，所以$\begin{cases}2x + y = 4\\2y - x = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$，所以$x + y = 3$.

1. [2024·南阳一中月考]如图所示，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，$7\overrightarrow{AE}=5\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AF}$，EF 交 AC 于点 K，$\overrightarrow{AK}=\lambda\overrightarrow{OA}$，则实数$\lambda=$(A)

A.$-\frac{10}{27}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{10}{27}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 1.A【解析】因为$\overrightarrow{AK}=\lambda\overrightarrow{OA}=-\lambda\overrightarrow{AO}=-\frac{\lambda}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=-\frac{\lambda}{2}(\frac{7}{5}\overrightarrow{AE}+4\overrightarrow{AF})$.又$E$，$F$，$K$三点共线，所以$-\frac{\lambda}{2}(\frac{7}{5}+4)=1$，解得$\lambda=-\frac{10}{27}$.故选A.

2. [2024·扬州中学月考]在$\triangle ABC$中，D 为线段 AB 上靠近点 A 的一个四等分点，$\overrightarrow{CD}=\lambda\overrightarrow{CA}+\mu\overrightarrow{CB}$($\lambda\in\mathbf{R}$，$\mu\in\mathbf{R}$)，则$\cos\lambda\pi-\sin\mu\pi$的值为(D)

A.$\sqrt{2}$
B.1
C.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$-\sqrt{2}$

答案： 2.D【解析】依题意得$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}$，又$\overrightarrow{CD}=\lambda\overrightarrow{CA}+\mu\overrightarrow{CB}$，所以$\lambda=\frac{3}{4}$，$\mu=\frac{1}{4}$，于是$\cos\lambda\pi-\sin\mu\pi=\cos\frac{3\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$.

3. [2024·长沙一中月考]如图所示，$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$是两个非零不共线向量，N 为线段 OB 的中点，M 为线段 OA 上靠近点 A 的三等分点，点 C 在直线 MN 上，且$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$($x$，$y\in\mathbf{R}$)，则$x^{2}+y^{2}$的最小值为(A)

A.$\frac{4}{25}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 3.A【解析】因为$C$，$M$，$N$三点共线，所以存在实数$\lambda$，$\mu$使$\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OM}+\mu\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\lambda\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\mu\overrightarrow{OB}$，且$\lambda+\mu=1$.又$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$（$x$，$y\in R$），所以$x=\frac{2}{3}\lambda$，$y=\frac{1}{2}(1-\lambda)$，$0＜\lambda＜1$，故$x^{2}+y^{2}=(\frac{2}{3}\lambda)^{2}+\frac{1}{4}(1-\lambda)^{2}=\frac{25}{36}\lambda^{2}-\frac{\lambda}{2}+\frac{1}{4}=\frac{25}{36}(\lambda-\frac{9}{25})^{2}+\frac{4}{25}$，$0＜\lambda＜1$.易知当$\lambda=\frac{9}{25}$时，$x^{2}+y^{2}$取得最小值，最小值为$\frac{4}{25}$.

4. [2024·宿州模拟]如图所示，$OM// AB$，点 P 在由射线 OM，线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则 x 的取值范围是$(-\infty,0)$，当$x = -\frac{1}{2}$时，y 的取值范围是$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$。

答案： 4.$(-\infty,0)$，$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$【解析】由题意，设$\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{AB}(\lambda＞0)$，$\overrightarrow{OP}=\boldsymbol{a}\lambda\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{OB}(\boldsymbol{a}＞0,0＜b＜1)$，所以$\overrightarrow{OP}=\boldsymbol{a}\lambda\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}\lambda(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+b\overrightarrow{OB}=-\boldsymbol{a}\lambda\overrightarrow{OA}+(\boldsymbol{a}\lambda+b)\overrightarrow{OB}$.由$-\boldsymbol{a}\lambda＜0$，得$x＜0$，即$x$的取值范围是$(-\infty,0)$.又$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则有$0＜x+y＜1$，当$x=-\frac{1}{2}$时，有$0＜-\frac{1}{2}+y＜1$，解得$\frac{1}{2}＜y＜\frac{3}{2}$，即$y$的取值范围是$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$.