《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·浏阳一中月考]在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 表示△ABC 的面积。若 ccos B + bcos C = a sin A，S = $\frac{\sqrt{3}}{4}$(b² + a² - c²)，则 B = (D)

A.90°
B.60°
C.45°
D.30°

答案： 1.D 【解析】由$c\cos B+b\cos C=a\sin A$及正弦定理得$\sin C\cos B+\sin B\cos C=\sin^{2} A$，则$\sin(C+B)=\sin^{2} A$，即$\sin A=\sin^{2} A$.因为$\sin A\neq0$，所以$\sin A=1$.因为$0^{\circ}＜A＜180^{\circ}$，所以$A=90^{\circ}$.由余弦定理、三角形面积公式及$S=\frac{\sqrt{3}}{4}(b^{2}+a^{2}-c^{2})$，得$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{\sqrt{3}}{4}(b^{2}+a^{2}-c^{2})$，即$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{\sqrt{3}}{4}·2ab\cos C$，整理得$\tan C=\sqrt{3}$.又$0^{\circ}＜C＜90^{\circ}$，所以$C=60^{\circ}$，故$B=30^{\circ}$.故选D.

2. [2024·重庆一中月考]设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ccos A = $\frac{1}{2}$(a cos B + b cos A)，△ABC 的面积为$\sqrt{3}$，b + c = 2$\sqrt{6}$，则△ABC 的外接圆面积为 (A)

A.4π
B.16π
C.24π
D.48π

答案： 2.A 【解析】由$c\cos A=\frac{1}{2}(a\cos B+b\cos A)$及正弦定理可得$\sin C\cos A=\frac{1}{2}(\sin A\cos B+\sin B\cos A)$，即$\sin C\cos A=\frac{1}{2}\sin(A+B)$.在$\triangle ABC$中，$A+B=\pi-C$，由诱导公式可得$\sin(A+B)=\sin C$，所以$\sin C\cos A=\frac{1}{2}\sin(A+B)$等价于$\sin C\cos A=\frac{1}{2}\sin C$.在$\triangle ABC$中，$C\in(0,\pi)$，则$\sin C\neq0$，所以$\cos A=\frac{1}{2}$，又因为在$\triangle ABC$中，$A\in(0,\pi)$，所以$A=\frac{\pi}{3}$.因为$\triangle ABC$的面积为$\sqrt{3}$，$b+c=2\sqrt{6}$，所以由三角形面积公式以及余弦定理可得$\begin{cases}\sqrt{3}=\frac{1}{2}bc\sin A,\\a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\end{cases}$解得$a=2\sqrt{3}$，所以由正弦定理可得$\frac{a}{\sin A}=2R$，解得$R=2$，则$\triangle ABC$的外接圆的半径为$2$，其面积为$4\pi$.故选A.

3. [2024·郑州一中期中](多选)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且(a + b)∶(a + c)∶(b + c) = 9∶10∶11，则下列结论正确的有 (ACD)

A.sin A∶sin B∶sin C = 4∶5∶6
B.△ABC 是钝角三角形
C.△ABC 的最大内角是最小内角的 2 倍
D.若 c = 6，则△ABC 外接圆的半径 R = $\frac{8\sqrt{7}}{7}$

答案： 3.ACD 【解析】由$(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11$可设$a+b=9t$，$a+c=10t$，$b+c=11t$，$t＞0$，解得$a=4t$，$b=5t$，$c=6t$，则$\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c=4:5:6$，A正确；易知$C$为最大内角，且$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{16t^{2}+25t^{2}-36t^{2}}{2·4t·5t}=\frac{1}{8}＞0$，故$C$为锐角，故$\triangle ABC$为锐角三角形，B错误；易知$A$为最小内角，且$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{25t^{2}+36t^{2}-16t^{2}}{2·5t·6t}=\frac{3}{4}$，则$\cos2A=2\cos^{2}A-1=2×\frac{9}{16}-1=\frac{1}{8}=\cos C$，由$2A,C\in(0,\pi)$，可得$2A=C$，C正确；若$c=6$，则$2R=\frac{c}{\sin C}=\sqrt{\frac{6}{1-\frac{1}{64}}}=\frac{16\sqrt{7}}{7}$，所以$R=\frac{8\sqrt{7}}{7}$，D正确.故选ACD.

4. [2024·湖北麻城一中月考]在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c 且满足 b sin C = a，a² + c² - b² = $\frac{8}{5}$ac，则 tan C =-3_。

答案： 4.$-3$【解析】因为$a^{2}+c^{2}-b^{2}=\frac{8}{5}ac$，所以$\cos B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}=\frac{4}{5}$，所以$\sin B=\frac{3}{5}$.又因为$b\sin C=a$，所以$\sin B\sin C=\sin A$，所以$\sin B\sin C=\sin A=\sin(B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$，将$\cos B=\frac{4}{5}$，$\sin B=\frac{3}{5}$代入得$\sin C=-3\cos C$，即$\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}=-3$.

5. [2024·青岛二中月考]
如图，在△ABC 中，∠B = $\frac{π}{3}$，D 为 BC 边上的点，

E 为 AD 上的点，且 AE = 8，AC = 4$\sqrt{10}$，∠CED = $\frac{π}{4}$，则 CE =4√2_。若 CD = 5，则 cos∠DAB =(4√3-3)/10_。

答案： 5.$4\sqrt{2}$ $\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$【解析】由题意可得$\angle AEC=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$，在$\triangle AEC$中，由余弦定理得$AC^{2}=AE^{2}+CE^{2}-2AE· CE·\cos\angle AEC$，即$160=64+CE^{2}+8\sqrt{2}CE$，整理得$CE^{2}+8\sqrt{2}CE-96=0$，解得$CE=4\sqrt{2}$(负值舍去).因为$CD=5$，所以在$\triangle CDE$中，由正弦定理得$\frac{CE}{\sin\angle CDE}=\frac{CD}{\sin\angle CED}$，即$\frac{4\sqrt{2}}{\sin\angle CDE}=\frac{5}{\sin\frac{\pi}{4}}$，所以$\sin\angle CDE=\frac{4}{5}$.因为点$D$在$BC$边上，所以$\angle CDE＞\angle B=\frac{\pi}{3}$，而$\frac{4}{5}＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\angle CDE$只能为钝角，所以$\cos\angle CDE=-\frac{3}{5}$，所以$\cos\angle DAB=\cos(\angle CDE-\frac{\pi}{3})=\cos\angle CDE\cos\frac{\pi}{3}+\sin\angle CDE\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$.

6. [2024·泉州五中月考]在① sin∠BAC = $\frac{3\sqrt{21}}{14}$，② AC = $\frac{8\sqrt{7}}{7}$这两个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答。
已知四边形 ABCD 为圆的内接四边形，_，AB= 1，BD = $\sqrt{7}$，AD = 2，求 BC 的长。
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分。

答案： 6.若选择条件①.
因为$AB=1$，$BD=\sqrt{7}$，$AD=2$，所以$\cos\angle BAD=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2AB· AD}=\frac{1+4-7}{2×1×2}=-\frac{1}{2}$.又$0＜\angle BAD＜\pi$，所以$\angle BAD=\frac{2\pi}{3}$.
因为四边形$ABCD$为圆的内接四边形，所以$\angle BCD=\pi-\angle BAD=\frac{\pi}{3}$，$\angle BAC=\angle BDC$.在$\triangle BCD$中，由正弦定理得$BC=\frac{BD}{\sin\angle BCD}·\sin\angle BDC=\frac{2\sqrt{21}}{3}×\frac{3\sqrt{21}}{14}=3$.
若选择条件②.
因为四边形$ABCD$为圆的内接四边形，所以$\angle BDA=\angle BCA$.因为$AD=2$，$AB=1$，$BD=\sqrt{7}$，所以$\cos\angle BDA=\frac{AD^{2}+BD^{2}-AB^{2}}{2AD· BD}=\frac{4+7-1}{2×2×\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$，所以$\cos\angle BCA=\cos\angle BDA=\frac{5\sqrt{7}}{14}$.
在$\triangle ABC$中，$AB=1$，$AC=\frac{8\sqrt{7}}{7}$，所以$\cos\angle BCA=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC· BC}=\frac{\frac{64}{7}+BC^{2}-1}{2×\frac{8\sqrt{7}}{7}· BC}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$，解得$BC=3$或$BC=\frac{19}{7}$.

7. [2024·华中师大一附中周练]设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a tan B = $\frac{20}{3}$，b sin A = 4。若△ABC 的面积 S = 10，则 cos 4C 的值为 (D)

A.-$\frac{3}{5}$
B.-$\frac{4}{5}$
C.-$\frac{24}{25}$
D.-$\frac{7}{25}$

答案： 7.D 【解析】由$b\sin A=4$，得$a\sin B=4$.因为$a\tan B=\frac{20}{3}$，所以$\cos B=\frac{3}{5}＞0$，且$\tan B＞0$，所以$\sin B=\frac{4}{5}$，$\tan B=\frac{4}{3}$，所以$a=5$.由$S=\frac{1}{2}ac\sin B=10$，得$c=5$，所以$A=C$，$\cos4C=2\cos^{2}2C-1=2\cos^{2}(A+C)-1=2\cos^{2}B-1=2×(\frac{3}{5})^{2}-1=-\frac{7}{25}$.

8. [2024·成都七中月考]在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin A sin B + sin B sin C + cos 2B =1。若 C = $\frac{2π}{3}$，则$\frac{a}{b}$ = _。

答案： 8.$\frac{3}{5}$【解析】因为$\sin A\sin B+\sin B\sin C+\cos2B=1$，所以$\sin A\sin B+\sin B\sin C=2\sin^{2}B$.由正弦定理可得$ab+bc=2b^{2}$，即$a+c=2b$，所以$c=2b-a$，所以由余弦定理可得$(2b-a)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\frac{2\pi}{3}$，解得$5a=3b$，所以$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$.