《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·武汉六中期中]设 $ z = (2t^{2} + 5t - 3) + (t^{2} + 2t + 2)i $，其中 $ t \in \mathbf{R} $，则以下结论正确的是(C)

A.$ z $ 对应的点在第一象限
B.$ z $ 一定不为纯虚数
C.$ \overline{z} $ 对应的点在实轴的下方
D.$ z $ 一定为实数

答案： 1.C【解析】因为$t^{2}+2t + 2=(t + 1)^{2}+1＞0$，所以$z$对应的点在实轴的上方.又因为$z$与$\overline{z}$对应的点关于实轴对称，所以C正确.

2. [2024·柳州铁一中学月考]复数 $ z = \frac{i}{1 + i} $($i$ 为虚数单位)的模是(B)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 2.B【解析】因为$z=\frac{i}{1 + i}=\frac{i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=\frac{1 + i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$，所以$|z|=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.故选B.

3. [2024·邢台一中月考]已知 $ z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbf{C} $，下列结论正确的是(C)

A.若 $ z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = 0 $，则 $ z_{1} = z_{2} = z_{3} = 0 $
B.若 $ z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} ＞ 0 $，则 $ z_{1}^{2} + z_{2}^{2} ＞ - z_{3}^{2} $
C.若 $ z_{1}^{2} + z_{2}^{2} ＞ - z_{3}^{2} $，则 $ z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} ＞ 0 $
D.若 $ \overline{z_{1}} = - z_{1} $，则 $ z_{1} $ 为纯虚数

答案： 3.C【解析】取$z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=0$，满足$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=0$，但是$z_{1}=z_{2}=z_{3}=0$不成立，A错误；取$z_{1}=2 - i,z_{2}=3 - i,z_{3}=5 + i$，满足$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}＞0$，但是$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=11 - 10i，-z_{3}^{2}=-24 - 10i$，都为复数，不能比较大小，因此$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}＞-z_{3}^{2}$不成立，B错误；因为满足$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}＞-z_{3}^{2}$，所以$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$及$z_{3}^{2}$都是实数，所以$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}＞0$成立，C正确；设$z_{1}=a + bi(a,b\inR)$，因为$z_{1}=-z_{1}$，所以$a - bi=-a - bi$，所以$a = 0$，所以$z_{1}=bi$，由于$b$可能是$0$，故$z_{1}=0$是可能的，所以$z_{1}$不一定是纯虚数，D错误.故选C.

4. [2024·许昌高中月考]已知 $ i $ 为虚数单位，$ a $ 为实数，复数 $ z = (1 - 2i)(a + i) $ 在复平面内对应的点为 $ M $，则“$ a ＞ \frac{1}{2} $”是“点 $ M $ 在第四象限”的(A)

A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4.A【解析】$z=(1 - 2i)(a + i)=a + 2+(1 - 2a)i$，所以$M(a + 2,1 - 2a)$.点$M$在第四象限$\Leftrightarrow\begin{cases}a + 2＞0,\\1 - 2a＜0\end{cases}\Leftrightarrow a＞\frac{1}{2}$，故$a＞\frac{1}{2}$是“点$M$在第四象限”的充要条件.故选A.

5. [2024·东北三省三校联考]设复数 $ z $ 满足 $ \frac{z - i}{i} = z - 2i $($i$ 为虚数单位)，则 $ z = $(B)
时间：120 分钟 满分：150 分 答案＞P206

A.$ \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i $
B.$ \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i $
C.$ - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i $
D.$ - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i $

答案： 5.B【解析】$z - i=zi+2$，$z(1 - i)=2 + i$，$z=\frac{2 + i}{1 - i}=\frac{(2 + i)(1 + i)}{2}=\frac{1 + 3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$.

6. [2024·重庆八中期中]已知 $ i $ 为虚数单位，复数 $ z_{1}, z_{2} $ 满足 $ |z_{1}| = |z_{2}| = 2 $，$ z_{1} - z_{2} = \frac{4 + 8i}{2 - i} $，则 $ z_{1}z_{2} = $(D)

A.$ - 4 $
B.$ - 4i $
C.$ 4i $
D.$ 4 $

答案： 6.D【解析】因为$\frac{4 + 8i}{2 - i}=\frac{(4 + 8i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)}=\frac{8 + 4i+16i-8}{5}=\frac{20i}{5}=4i$，所以$z_{1}-z_{2}=4i$.
设$z_{1}=a + bi(a,b\inR)，z_{2}=a + ci(c\inR)$，
由$|z_{1}|=|z_{2}|=2$，得$a^{2}+b^{2}=a^{2}+c^{2}=4$，
由$z_{1}-z_{2}=4i$，得$b - c = 4$，
由①②得$a = 0，b = 2，c=-2$，于是$z_{1}=2i，z_{2}=-2i$，所以$z_{1}z_{2}=4$.故选D.

7. [2024·淮北一中月考]已知复数 $ z = (3a + 2i)(b - i) $ 的实部为 4，其中 $ a, b $ 为正实数，则 $ 2a + b $ 的最小值为(D)

A.$ 2 $
B.$ 4 $
C.$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $
D.$ \frac{4\sqrt{3}}{3} $

答案： 7.D【解析】因为$z=(3a + 2i)(b - i)=3ab + 2+(2b - 3a)i$，所以$3ab + 2 = 4$，所以$ab=\frac{2}{3}$，所以$2a + b\geqslant2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2×\frac{2}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，当且仅当$a=\frac{\sqrt{3}}{3}，b=\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，等号成立，故$2a + b$的最小值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.故选D.

8. [2024·成都模拟]甲、乙两个同学对问题“已知 $ m ＞ 0, n ＞ 0 $，若关于 $ x $ 的实系数一元二次方程 $ x^{2} - px + m = 0 $ 的两个根 $ x_{1}, x_{2} $，满足 $ |x_{1} - x_{2}| = n $，求实数 $ p $ 的值”各自提出一个猜测：
甲说：“对于任意一组 $ m, n $ 的值，$ p $ 的不同值最多有 4 个.”
乙说：“存在一组 $ m, n $ 的值，使得 $ p $ 的不同值恰有 3 个.”
则下列选项正确的是(C)

A.甲的猜测正确，乙的猜测错误
B.甲的猜测错误，乙的猜测正确
C.甲、乙的猜测都正确
D.甲、乙的猜测都错误

答案： 8.C【解析】实系数一元二次方程$x^{2}-px + m = 0$，则$\Delta=p^{2}-4m$.当$\Delta = 0$时，$x_{1}=x_{2}$，则$|x_{1}-x_{2}|=n = 0$与条件$n＞0$矛盾；当$\Delta＞0$时，$x_{1,2}=\frac{p\pm\sqrt{p^{2}-4m}}{2}$，$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{p^{2}-4m}=n$，可得$p=\pm\sqrt{4m + n^{2}}$有两个值；当$\Delta＜0$时，$x_{1,2}=\frac{p\pm\sqrt{4m - p^{2}}i}{2}$，$|x_{1}-x_{2}|=|\sqrt{4m - p^{2}}i|=\sqrt{4m - p^{2}}=n$，可得$p=\pm\sqrt{4m - n^{2}}$有一个或两个值.
综上可知，当$4m = n^{2}$时，$p$的值有$3$个；当$4m＞n^{2}$时，$p$的值有$4$个.所以甲、乙的猜测都正确.故选C.

9. [2024·南京二十七中期中]设 $ \omega = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $，
则(ABC)

A.$ |\omega| = 1 $
B.$ \omega^{2} = \overline{\omega} $
C.$ \omega\overline{\omega} = 1 $
D.$ \omega^{3} = - 1 $

答案： 9.ABC【解析】对于A，$|\omega|=\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=1$，故A正确；对于B，因为$\omega^{2}=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$\omega=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，所以$\omega^{2}=\overline{\omega}$，故B正确；对于C，$\omega\overline{\omega}=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=1$，故C正确；对于D，$\omega^{3}=\omega^{2}\omega=(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=1$，故D错误.故选ABC.