《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

12. [2024·日照调考]某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组，单位：人)：

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则 $ a $ 的值为30.

答案： 12.30 【解析】由题意，知$\frac{12}{45 + 15}=\frac{30}{120 + a}，$解得a = 30.

13. [2024·六安一中期末]已知一组数据 $ x_1,x_2,·s,x_6 $ 的方差是 2，且 $ (x_1-1)^2+(x_2-1)^2+·s+(x_6-1)^2=18,\overline{x}\neq0 $，则 $ \overline{x}= $2.

答案： 13.2 【解析】一组数据$x_1,x_2,·s,x_6$的方差是2，则$[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ·s + (x_6 - \overline{x})^2]×\frac{1}{6}=2，$因此$(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ·s + (x_6 - \overline{x})^2 = 12，$即$x_1^2 + x_2^2 + ·s + x_6^2 - 6\overline{x}^2 = 12.①$
又$(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2 + ·s + (x_6 - 1)^2 = 18，$$\overline{x}\neq0，$所以$x_1^2 + x_2^2 + ·s + x_6^2 - 2×6\overline{x} + 6 = 18.②$
由①②联立，得$12 + 6\overline{x}^2 - 12\overline{x} + 6 = 18，$解得$\overline{x} = 2$或$\overline{x} = 0($不符合题意，舍去).

14. [2024·宁波慈溪中学月考]从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取 8 件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：3，3，4，7，9，10，11，12.
两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是 8 年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数. 甲：众数，乙：中位数.(本小题第一空 2 分，第二空 3 分)

答案： 14.众数 中位数 【解析】甲、乙两个厂家从不同角度描述了一组数据的特征. 对甲分析：该组数据8出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析：该组数据最中间的是7与9，中位数是$\frac{7 + 9}{2}=8，$故运用了中位数.

15. [2024·辽宁省实验中学期中]（13 分）某企业计划引进 $ A,B $ 两种设备对某产品进行进一步的加工. $ A $ 设备每台每天可以加工 30 件，每天维护费用为 500 元/台；$ B $ 设备每台每天可以加工 4 件，每天维护费用为 80 元/台. 该企业现有两种购置方法：
方法一：购买 100 台 $ A $ 设备和 800 台 $ B $ 设备；
方法二：购买 200 台 $ A $ 设备和 450 台 $ B $ 设备.
假设进一步加工后每件产品可以增加 25 元的收入.
该企业随机统计了 100 天中该产品每天的生产件数，得到如下的频数分布表.

以抽取的这 100 天中该产品的生产情况（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）为基础，试选择一种购置方法，求该方法中使用 $ A,B $ 两种设备后的日增加的利润的均值.（日增加的利润=日增加的收入-日维护费用）
注：若选择两种方法分别解答，则按第一个解答计分.

答案： 15.若选择方法一.
同一组数据用该组区间的中点值为代表，得到这100天中该产品每天生产件数的频数分布表如下：
件数 6000 7000 8000 9000
频数 20 30 40 10
使用100台A设备和800台B设备每天可进一步加工的件数为30×100 + 4×800 = 6200，则这100天中该产品每天进一步加工件数的频数分布表如下：
进一步加工的件数 6000 6200
频数 20 80
所以使用A，B设备进一步加工后的日增加的利润的均值为$25×\frac{(6000×20 + 6200×80)}{100}-500×100 - 80×800 = 40000($元).
若选择方法二.
同一组数据用该组区间的中点值为代表，得到这100天中该产品每天生产件数的频数分布表如下：
件数 6000 7000 8000 9000
频数 20 30 40 10
使用200台A设备和450台B设备每天可进一步加工的件数为30×200 + 4×450 = 7800，则这100天中该产品每天进一步加工件数的频数分布表如下：
进一步加工的件数 6000 7000 7800
频数 20 30 50
所以使用A，B设备进一步加工后的日增加的利润的均值为$25×\frac{(6000×20 + 7000×30 + 7800×50)}{100}-500×200 - 80×450 = 44000($元).