《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

6. [2024·襄阳四中周练]为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为10.

答案： 6.10 【解析】设5个班级中参加的人数分别为$x_1，$$x_2，$$x_3，$$x_4，$$x_5，$则由题意知$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=7，$$(x_1-7)^2+(x_2-7)^2+(x_3-7)^2+(x_4-7)^2+(x_5-7)^2=20，$五个整数的平方和为20，且五个整数互不相同，则必为0+1+1+9+9=20.由|x-7|=3可得x=10或x=4，由|x-7|=1可得x=8或x=6.由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故最大值为10.

7. [2024·云南师大附中期中]随着现代社会物质生活水平的提高,中学生的零花钱越来越多,消费水平也越来越高,因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念,对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查,现将统计数据按$[0,20)$,$[20,40),·s,[120,140]$分组后绘成如图所示的频率分布直方图,已知$a = 3b$.
(1)求频率分布直方图中a,b的值;
(2)估计该校学生每周零花钱的平均数、中位数、众数;
(3)若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在$[60,120)$内的人中抽取11人,求从$[100,120)$内抽取的人数.

答案： 7.
(1)(a+0.0125+0.0075+2b+2×0.0025)×20=1，即a+2b=0.025，又a=3b，所以a=0.015，b=0.005.
(2)平均数的估计值为(10×0.0025+30×0.005+50×0.0125+70×0.015+90×0.0075+110×0.0025+130×0.0025)×20=68(元).
由频率分布直方图可以看出在[60，80)内的数据最多，故众数的估计值为70元.
前3组的频率和为(0.0025+0.005+0.0125)×20=0.4，
前4组的频率和为(0.0025+0.005+0.0125+0.015)×20=0.7，
所以中位数位于[60，80)内，所以中位数为$60+\frac{0.5-0.4}{0.015}≈66.67($元).
(3)[60，80)，[80，100)，[100，120)这三组的频率分别为0.015×20=0.3，0.0075×20=0.15，0.005×20=0.1，比例为6:3:2，则从[100，120)内抽取的人数为$\frac{2}{11}×11=2.$

8. [2024·安庆一中期末]随着互联网的发展,与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷.现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.
使用A款订餐软件的50个商家“平均送达时间”的频率分布直方图
使用B款订餐软件的50个商家“平均送达时间”的频率分布直方图
(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)根据以上抽样调查的数据,用样本估计总体,回答下列问题:
①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的商家达到75%?
②如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款? 请说明理由.

答案： 8.
(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数约为55.
使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数约为15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.40+65×0.04=40.
(2)①使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”不超过40分的商家的比例估计值为0.04+0.20+0.56=0.80=80\%＞75\%.
故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的商家达到75\%.
②因为使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04+25×0.20+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35＜40，用样本估计总体，所以使用B款订餐软件的商家的“平均送达时间”的平均数小于使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的平均数，所以选择B款订餐软件.