《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·洛阳二中期中]已知 i 是虚数单位,则复数 $ z = (3 + i) + (-3 - 2i) $ 的虚部是(C)

A.1
B.$ \sqrt{2} $
C.-1
D.-i

答案： 1.C【解析】$z=(3+i)+(-3-2i)=(3-3)+(1-2)i=-i$.故复数$z$的虚部为$-1$.故选C.

2. [2024·江西师大附中月考]已知复数 $ z_1 = 1 + 3i, z_2 = 3 + i $ (i 为虚数单位). 在复平面内, $ z_1 - z_2 $ 对应的点在(B)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.B【解析】因为$z_1=1+3i$，$z_2=3+i$，所以$z_1 - z_2=-2+2i$，故$z_1 - z_2$在复平面内对应的点$(-2,2)$在第二象限.故选B.

3. [2024·黄石二中月考]设 $ f(z) = |z|, z_1 = 3 + 4i, z_2 = -2 - i $, 则 $ f(z_1 - z_2) = $$5\sqrt{2}$.

答案： 3.$5\sqrt{2}$【解析】因为$z_1=3 + 4i$，$z_2=-2-i$，所以$z_1 - z_2=5 + 5i$，所以$f(z_1 - z_2)=f(5 + 5i)=|5 + 5i| = 5\sqrt{2}$.

4. [2024·开封三中期中]已知 $ |z| = 3 $, 且 $ z + 3i $ 是纯虚数,则 $ z = $3i.

答案： 4.3i【解析】设$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，因为$|z| = 3$，所以$a^2 + b^2 = 9$.因为$z + 3i = a + bi + 3i = a + (b + 3)i$为纯虚数，所以$\begin{cases}a = 0\\b + 3\neq 0\end{cases}$，即$\begin{cases}a = 0\\b\neq -3\end{cases}$.又$a^2 + b^2 = 9$，所以$\begin{cases}a = 0\\b = 3\end{cases}$，$z = 3i$.

5. [2024·银川一中周练](多选) $ |(3 + 2i) - (1 + i)| $ 表示(ACD)

A.点 $ (3,2) $ 与点 $ (1,1) $ 之间的距离
B.点 $ (3,2) $ 与点 $ (-1,-1) $ 之间的距离
C.点 $ (2,1) $ 到原点的距离
D.坐标为 $ (-2,-1) $ 的向量的模

答案： 5.ACD【解析】由复数的几何意义知，复数$(3 + 2i)$，$(1 + i)$分别对应复平面内的点$(3,2)$与点$(1,1)$，所以$|(3 + 2i)-(1 + i)|$表示点$(3,2)$与点$(1,1)$之间的距离，故A正确，B错误；$|(3 + 2i)-(1 + i)| = |2 + i|$，$|2 + i|$可表示点$(2,1)$到原点的距离，故C正确；$|(3 + 2i)-(1 + i)| = |(1 + i)-(3 + 2i)| = |-2 - i|$，$|-2 - i|$可表示坐标为$(-2,-1)$的向量的模，故D正确.故选ACD.

6. 满足条件 $ |z - i| = |3 + 4i| $ 的复数 $ z $ 在复平面内对应的点的集合是(C)

A.一条直线
B.两条直线
C.一个圆
D.一条线段

答案： 6.C【解析】设$z = x + yi$，$x,y\in\mathbf{R}$.因为$|z - i| = |3 + 4i|$，所以$|z - i| = 5$，所以复数$z$在复平面上对应点的集合是一个圆.故选C.

7. [2024·扬州中学期中]已知 i 为虚数单位,在复平面内的平行四边形 $ ABCD $ 中,点 $ A $ 对应的复数为 $ 2 + i $, 向量 $ \overrightarrow{BA} $ 对应的复数为 $ 1 + 2i $, 向量 $ \overrightarrow{BC} $ 对应的复数为 $ 3 - i $, 则:
(1) 点 $ C,D $ 对应的复数分别为$4 - 2i$，5;
(2) 平行四边形 $ ABCD $ 的面积为7.

答案： 7.
(1)$4 - 2i$，5
(2)7【解析】
(1)因为向量$\overrightarrow{BA}$对应的复数为$1 + 2i$，向量$\overrightarrow{BC}$对应的复数为$3 - i$，所以向量$\overrightarrow{AC}$对应的复数为$(3 - i)-(1 + 2i)=2 - 3i$.
设$O$为坐标原点，因为$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}$，所以点$C$对应的复数为$(2 + i)+(2 - 3i)=4 - 2i$.
在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，所以向量$\overrightarrow{AD}$对应的复数为$3 - i$，所以$\overrightarrow{AD}=(3,-1)$.
设$D(x,y)$，则$\overrightarrow{AD}=(x - 2,y - 1)=(3,-1)$，所以$\begin{cases}x - 2 = 3\\y - 1 = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 5\\y = 0\end{cases}$，所以点$D$对应的复数为5.
(2)因为$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|·|\overrightarrow{BC}|\cos B$，所以$\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|·|\overrightarrow{BC}|}=\frac{3 - 2}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$.
因为$0 ＜ B ＜ \pi$，所以$\sin B=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，所以$S_{□ ABCD}=|\overrightarrow{BA}|·|\overrightarrow{BC}|\sin B=\sqrt{5}×\sqrt{10}×\frac{7\sqrt{2}}{10}=7$.

8. [2024·广州模拟]已知 $ z \in \mathbf{C} $, 且 $ |z| = 1 $, 则 $ |z - 1 - i| $ (i 为虚数单位) 的最大值是(B)

A.$ \sqrt{2} - 1 $
B.$ \sqrt{2} + 1 $
C.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \sqrt{2} $

答案： 8.B【解析】设$z = x + yi(x,y\in\mathbf{R})$，$|z| = 1$，复数$z$在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆，故$|z - 1 - i|=\sqrt{(x - 1)^2+(y - 1)^2}$表示的是圆上的点$(x,y)$到点$(1,1)$的距离，由此可知最长距离为点$(0,0)$到点$(1,1)$的距离$\sqrt{2}$再加上圆的半径1，即为$\sqrt{2}+1$.故选B.

9. [2024·荆门一中月考]已知复数 $ z = x + yi $ ($ x,y \in \mathbf{R} $) 满足条件 $ |z - 4i| = |z + 2| $, 则 $ 2^x + 4^y $ 的最小值为(C)

A.2
B.4
C.$ 4\sqrt{2} $
D.16

答案： 9.C【解析】由$|z - 4i| = |z + 2|$，得$|x + (y - 4)i| = |x + 2 + yi|$，所以$x^2+(y - 4)^2=(x + 2)^2+y^2$，即$x + 2y=3$，所以$2^x+4^y=2^x+2^{2y}\geqslant2\sqrt{2^{x + 2y}}=2\sqrt{2^3}=4\sqrt{2}$，当且仅当$x = 2y=\frac{3}{2}$时，$2^x + 4^y$取得最小值$4\sqrt{2}$.

10. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于 1643 年提出的平面几何极值问题: “已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和为极小.”费马问题中所求的点称为费马点. 已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当 $ \triangle ABC $ 的三个内角均小于 $ 120° $ 时,使得 $ \angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120° $ 的点 $ P $ 即费马点. 根据以上材料,若 $ z \in \mathbf{C} $, 则 $ |z - 2| + |z + 2| + |z + 2i| $ 的最小值为(B)

A.$ 2\sqrt{3} - 2 $
B.$ 2\sqrt{3} + 2 $
C.$ \sqrt{3} - 1 $
D.$ \sqrt{3} + 1 $

答案：
10.B【解析】设$z = x + yi(x,y\in\mathbf{R})$，$|z - 2|+|z + 2|+|z + 2i|$表示点$P(x,y)$到$\triangle ABC$三个顶点$A(2,0)$，$B(-2,0)$，$C(0,-2)$的距离之和.由费马点的定义可知，当点$P$位于$\triangle ABC$的费马点处，所求值最小.依题意结合对称性可知$\triangle ABC$的费马点$P$位于虚轴的负半轴上，且$\angle APB = 120^{\circ}$，则$\angle PAO=\angle PBO = 30^{\circ}$，如图，此时$|PA|+|PB|+|PC|=\frac{2}{\cos30^{\circ}}×2+(2 - 2\tan30^{\circ})=2\sqrt{3}+2$.故选B.

11. 已知复数 $ z $ 满足 $ |z + \sqrt{3} + i| \leq 1 $, 求:
(1) $ |z| $ 的最大值和最小值;
(2) $ |z - 1|^2 + |z + 1|^2 $ 的最大值和最小值.

答案：
11.
(1)满足$|z+\sqrt{3}+i|\leqslant1$的复数$z$的几何意义：圆心为$M(-\sqrt{3},-1)$，半径为$1$的圆内区域(包括边界).
$|z|$则表示圆内区域(包括边界)上一点到原点的距离.如图所示，$\overrightarrow{OA}$对应的复数的模为$|z|$的最大值，$\overrightarrow{OB}$对应的复数的模为$|z|$的最小值.
因为$|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2$，所以$|z|_{\max}=2 + 1 = 3$，$|z|_{\min}=2 - 1 = 1$.
故$|z|$的最大值为$3$，最小值为$1$.
(2)设$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，则$|z|^2=a^2 + b^2$，$|z - 1|^2+|z + 1|^2=|a - 1 + bi|^2+|a + 1 + bi|^2=(a - 1)^2+b^2+(a + 1)^2+b^2=2(a^2 + b^2)+2=2|z|^2+2$.
由
(1)知$1\leqslant|z|\leqslant3$，所以$|z - 1|^2+|z + 1|^2$的最大值为$2×3^2+2 = 20$，最小值为$2×1^2+2 = 4$.