《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

8. [2024·成都一中月考]直线$a//$平面$\alpha$，$\alpha$内有$n$条直线交于一点，则这$n$条直线中与直线$a$平行的直线有0或1条。

答案： 8.0或1【解析】过直线$a$与$n$条直线的交点作平面$\beta$，设平面$\beta$与$\alpha$交于直线$b$，则$a // b$. 若在所给$n$条直线中有1条是与$b$重合的，则此直线与直线$a$平行；若没有与$b$重合的，则与直线$a$平行的直线有0条.

9. [2024·洛阳一中月考]已知直线$a//$平面$\alpha$，$a//$平面$\beta$，$\alpha\cap\beta = b$，则$a$与$b$(B)

A.相交
B.平行
C.异面
D.不确定

答案： 9.B【解析】因为直线$a //$平面$\alpha$，直线$a //$平面$\beta$，所以在$\alpha$，$\beta$中都可以找到一条直线平行于直线$a$，设为$m$，$n$，即$m // a$，$n // a$，所以$m // n$. 因为$m$不在平面$\beta$内，$n$在平面$\beta$内，所以$m // \beta$. 又因为$\alpha \cap \beta = b$，所以$m // b$. 又因为$m // a$，所以$a // b$. 故选B.

10. [2024·广州二中期末]如图，在三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$M$，$N$分别为棱$AA_{1}$，$BB_{1}$的中点，过$MN$作一平面分别交底面三角形$ABC$的边$BC$，$AC$于点$E$，$F$，则(B)

A.$MF// NE$
B.四边形$MNEF$为梯形
C.四边形$MNEF$为平行四边形
D.$A_{1}E_{1}// NE$

答案： 10.B【解析】因为在平行四边形$AA_1B_1B$中，$AM = MA_1$，$BN = NB_1$，所以$AM \perp BN$，所以$MN // AB$，$MN = AB$. 又$MN \not\subset$平面$ABC$，$AB \subset$平面$ABC$，所以$MN //$平面$ABC$. 又$MN \subset$平面$MNEF$，平面$MNEF \cap$平面$ABC = EF$，所以$MN // EF$，所以$EF // AB$. 显然在$\triangle ABC$中，$EF \neq AB$，所以$EF \neq MN$，所以四边形$MNEF$为梯形. 故选B.

11. [2024·南昌二中月考]如图，在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$分别是棱$AA_{1}$和$BB_{1}$的中点，过$EF$的平面$EFGH$分别交$BC$和$AD$于点$G$，$H$，则$GH$与$AB$的位置关系是(A)

A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面

答案： 11.A【解析】在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$AA_1 \perp BB_1$. 因为$E$，$F$分别为$AA_1$，$BB_1$的中点，所以$AE \perp BF$，所以四边形$ABFE$为平行四边形，所以$EF // AB$. 因为$EF \not\subset$平面$ABCD$，$AB \subset$平面$ABCD$，所以$EF //$平面$ABCD$. 因为$EF \subset$平面$EFGH$，平面$EFGH \cap$平面$ABCD = GH$，所以$EF // GH$. 又$EF // AB$，所以$GH // AB$. 故选A.

1. 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$是菱形，$N$，$M$，$Q$分别为$PB$，$PD$，$PC$的中点。
(1)求证：$QN//$平面$PAD$；
(2)记平面$CMN$与底面$ABCD$的交线为$l$，试判断直线$l$与平面$PBD$的位置关系，并证明。

答案： 1.
(1)证明：因为$N$，$Q$分别为$PB$，$PC$的中点，所以$QN // BC$. 因为底面$ABCD$是菱形，所以$BC // AD$，所以$QN // AD$. 因为$QN \not\subset$平面$PAD$，$AD \subset$平面$PAD$，所以$QN //$平面$PAD$.
(2)直线$l$与平面$PBD$平行，证明如下：因为$N$，$M$分别为$PB$，$PD$的中点，所以$MN // BD$，因为$MN \not\subset$平面$ABCD$，$BD \subset$平面$ABCD$，所以$MN //$平面$ABCD$. 因为平面$CMN$与底面$ABCD$的交线为$l$，$MN \subset$平面$CMN$，由线面平行的性质可得$MN // l$. 因为$MN \subset$平面$PBD$，$l \not\subset$平面$PBD$，所以直线$l //$平面$PBD$.

2. [2024·上海中学月考]如图，四边形$ABCD$为平行四边形，$P$是平面$ABCD$外一点，$M$是$PC$的中点。在$DM$上取一点$G$，过$G$和$AP$作平面$FAHG$交平面$BDM$于$GH$，求证：$AP// GH$。

答案：
2.证明：如图所示，连接$AC$. 设$AC \cap BD = O$，连接$OM$. 因为四边形$ABCD$为平行四边形，所以$O$为$AC$中点，又$M$为$PC$中点，所以$AP // OM$. 又因为$AP \not\subset$平面$BMD$，$OM \subset$平面$BMD$，所以$AP //$平面$BMD$. 又因为平面$PAHG \cap$平面$BMD = GH$，$AP \subset$平面$PAHG$，所以$AP // GH$.