《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·北京四中月考]复数$z = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 1.D 【解析】复数$z=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$在复平面内对应的点的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，对应的点位于第四象限.故选D.

2. [2024·衡水二中月考]若复数$z_1$与$z_2 = - 3 - i$在复平面内对应的点关于实轴对称，则$z_1 =$(B)

A.$- 3 - i$
B.$- 3 + i$
C.$3 + i$
D.$3 - i$

答案： 2.B 【解析】因为$z_2=-3-i$在复平面内对应的点为$(-3,-1)$，其关于实轴对称的点的坐标为$(-3,1)$，所以$z_1=-3+i$.

3. [2024·南宁三中月考](多选)在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是$1 + 2i$，$- 2 + i$，0，则第四个顶点对应的复数可以是(BCD)

A.$3 - i$
B.$- 1 + 3i$
C.$3 + i$
D.$- 3 - i$

答案： 3.BCD 【解析】设第四个顶点对应的复数为$z$，则$z+1+2i=-2+i+0$或$z-2+i=1+2i+0$或$z+0=1+2i-2+i$，所以$z=-3-i$或$z=3+i$或$z=-1+3i$.故选BCD.

4. [2024·武汉三中周练]已知i为虚数单位，实数m为何值时，复数$z = (m^2 - 8m + 15) + (m^2 + 3m - 28)i$在复平面内对应的点：
(1)位于第四象限？
(2)在实轴负半轴上？
(3)位于上半平面(含实轴)？

答案： 4.
(1)要使复数$z$在复平面内对应的点位于第四象限，需满足$\begin{cases} m^2 - 8m + 15 ＞ 0, \\ m^2 + 3m - 28 ＜ 0, \end{cases}$所以$\begin{cases} m ＜ 3或m ＞ 5, \\ -7 ＜ m ＜ 4, \end{cases}$所以$-7 ＜ m ＜ 3$.
(2)要使复数$z$在复平面内对应的点在实轴负半轴上，需满足$\begin{cases} m^2 - 8m + 15 ＜ 0, \\ m^2 + 3m - 28 = 0, \end{cases}$所以$\begin{cases} 3 ＜ m ＜ 5, \\ m = -7或m = 4, \end{cases}$所以$m = 4$.
(3)要使复数$z$在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴)，需满足$m^2 + 3m - 28 \geq 0$，解得$m \geq 4$或$m \leq -7$.

5. [2024·榆林一中月考]已知i为虚数单位，在复平面内，O为原点，向量$\overrightarrow{OA}$对应的复数为$1 + 4i$，向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数为$- 3 + 6i$，则向量$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{OB}$对应的复数为(B)

A.$- 3 + 2i$
B.$- 2 + 10i$
C.$4 - 2i$
D.$- 12i$

答案： 5.B 【解析】因为向量$\overrightarrow{OA}$对应的复数为$1 + 4i$，向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数为$-3 + 6i$，所以$\overrightarrow{OA}=(1,4)$，$\overrightarrow{OB}=(-3,6)$，所以$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}=(1,4)+(-3,6)=(-2,10)$，所以向量$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$对应的复数为$-2 + 10i$.

6. [2024·营口一中月考]如果复数z与$3 + 4i$对应的有序实数对关于虚轴对称，那么z对应的向量$\overrightarrow{OA}$的模是(D)

A.1
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{13}$
D.5

答案： 6.D 【解析】复数$z$对应的向量$\overrightarrow{OA}$的坐标为$(-3,4)$，其模为$\sqrt{(-3)^2 + 4^2}=5$.故选D.

7. 复数$z_1 = a + 2i$，$z_2 = - 2 + i$。如果$\vert z_1\vert ＜ \vert z_2\vert$，那么实数a的取值范围是(A)

A.$( - 1,1)$
B.$(1, + \infty)$
C.$(0, + \infty)$
D.$( - \infty, - 1)\cup(1, + \infty)$

答案： 7.A 【解析】因为$\vert z_1\vert=\sqrt{a^2 + 4}$，$\vert z_2\vert=\sqrt{5}$，$\vert z_1\vert＜\vert z_2\vert$，所以$\sqrt{a^2 + 4}＜\sqrt{5}$，所以$-1 ＜ a ＜ 1$.

8. [2024·烟台一中月考](多选)已知$z_1$，$z_2$为复数，则下列说法不正确的有(BCD)

A.若$z_1 = z_2$，则$\vert z_1\vert = \vert z_2\vert$
B.若$z_1 \neq z_2$，则$\vert z_1\vert \neq \vert z_2\vert$
C.若$z_1 ＞ z_2$，则$\vert z_1\vert ＞ \vert z_2\vert$
D.若$\vert z_1\vert ＞ \vert z_2\vert$，则$z_1 ＞ z_2$

答案： 8.BCD 【解析】因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A正确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如$1 - i \neq 1 + i$，但$\vert 1 - i\vert=\vert 1 + i\vert$，所以B不正确；若$z_1＞z_2$，则$z_1,z_2$为实数，当$z_1 = 1,z_2 = -2$时，满足$z_1＞z_2$，但$\vert z_1\vert＜\vert z_2\vert$，所以C不正确；因为两个虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D不正确.故选BCD.

9. [2024·铁岭一中月考]在复平面内，O为坐标原点，向量$\overrightarrow{OA}$对应的复数为$- 1 + 2i$，若点A关于直线_ $y = - x$的对称点为点B，则向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数为(B)

A.$- 2 - i$
B.$- 2 + i$
C.$1 + 2i$
D.$- 1 + 2i$

答案： 9.B 【解析】因为复数$-1 + 2i$对应的点为$A(-1,2)$，点A关于直线$y = -x$的对称点为$B(-2,1)$，所以$\overrightarrow{OB}$对应的复数为$-2 + i$.

10. 非零复数$z_1$，$z_2$分别对应复平面内的向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，若$\vert z_1 + z_2\vert = \vert z_1 - z_2\vert$，则(A)

A.$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}$
B.$\vert \overrightarrow{OA}\vert = \vert \overrightarrow{OB}\vert$
C.$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB}$
D.$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$共线

答案： 10.A 【解析】因为$\vert z_1 + z_2\vert=\vert z_1 - z_2\vert$，所以$\vert\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\vert=\vert\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\vert$，即以$OA,OB$为邻边的平行四边形的对角线相等，即以$OA,OB$为邻边的平行四边形为矩形，因此$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}$.故选A.