《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·佛山一中期末]在一场文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组，分别为小组 $ A $、小组 $ B $.给参赛选手甲、乙打分如下.
小组 $ A $
甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5
乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5
小组 $ B $
甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0
乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.0
（1）选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组 $ A $ 与小组 $ B $ 哪个更专业；
（2）根据（1）的判断结果，计算专业评委给参赛选手甲、乙打分的平均分；
（3）如果用专业评委打分的数据，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评委评分的平均分，那么这两位选手的最后得分是多少？如果直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好（只判断不说明）？
注：以上计算结果保留两位小数.

答案： 1.
(1)选择方差进行分析。
小组A的打分中，
甲的均值$\bar{x}_{1}=\frac{1}{10}×(7.5 + 7.5 + 7.8 + 7.8 + 8.0 + 8.0 + 8.2 + 8.3 + 8.4 + 9.5)=8.10$，
甲的方差$s_{1}^{2}=\frac{1}{10}×[(7.5 - 8.10)^{2}×2+(7.8 - 8.10)^{2}×2+(8.0 - 8.10)^{2}×2+(8.2 - 8.10)^{2}+(8.3 - 8.10)^{2}+(8.4 - 8.10)^{2}+(9.5 - 8.10)^{2}]\approx0.30$，
乙的均值$\bar{x}_{2}=\frac{1}{10}×(7.0 + 7.8 + 7.8 + 7.8 + 8.0 + 8.0 + 8.3 + 8.3 + 8.5 + 8.5)=8.00$，
乙的方差$s_{2}^{2}=\frac{1}{10}×[(7.0 - 8.00)^{2}+(7.8 - 8.00)^{2}×3+(8.0 - 8.00)^{2}×2+(8.3 - 8.00)^{2}×2+(8.5 - 8.00)^{2}×2]=0.18$
小组B的打分中，
甲的均值$\bar{x}_{3}=\frac{1}{10}×(7.4 + 7.5 + 7.5 + 7.6 + 8.0 + 8.0 + 8.2 + 8.9 + 9.0 + 9.0)=8.11$，
甲的方差$s_{3}^{2}=\frac{1}{10}×[(7.4 - 8.11)^{2}+(7.5 - 8.11)^{2}×2+(7.6 - 8.11)^{2}+(8.0 - 8.11)^{2}×2+(8.2 - 8.11)^{2}+(8.9 - 8.11)^{2}×2]\approx0.37$，
乙的均值$\bar{x}_{4}=\frac{1}{10}×(6.9 + 7.5 + 7.6 + 7.8 + 7.8 + 8.0 + 8.0 + 8.5 + 9.0 + 9.0)=8.01$，
乙的方差$s_{4}^{2}=\frac{1}{10}×[(6.9 - 8.01)^{2}+(7.5 - 8.01)^{2}+(7.6 - 8.01)^{2}+(7.8 - 8.01)^{2}×2+(8.0 - 8.01)^{2}×2+(8.5 - 8.01)^{2}+(9.0 - 8.01)^{2}×2]\approx0.39$
由以上数据可得，在甲、乙得分均值差$0.1$的情况下，小组B的打分方差较大，所以小组A的打分更专业。
(2)由
(1)可得，小组A为专业评委，所以选手甲的平均分$\bar{x}_{1}=8.10$，选手乙的平均分$\bar{x}_{2}=8.00$。
(3)由专业评委的数据，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙的均值分别为：
$\bar{x}_{甲}=\frac{7.5 + 7.8 + 7.8 + 8.0 + 8.0 + 8.2 + 8.3 + 8.4}{8}=8.00$，
$\bar{x}_{乙}=\frac{7.8 + 7.8 + 7.8 + 8.0 + 8.0 + 8.3 + 8.3 + 8.5}{8}\approx8.06$
去掉一个最低分和一个最高分之后，乙的均值高于甲，按照$10$个数据计算时，甲的均值高于乙的均值，所以两位选手的排名有变化。
故去掉一个最低分和一个最高分的评分方法更好。

2. [2024·郑州一中月考]在一次区域统考中，为了了解各学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析，其中数学学科的频率分布直方图如图所示，据此估计，在本次考试中数学成绩的方差为110.

答案： 2.110 【解析】根据频率分布直方图，得该组数据的平均数$\bar{x}=55×0.010×10 + 65×0.020×10 + 75×0.035×10 + 85×0.030×10 + 95×0.005×10 = 75$，
方差$s^{2}=(55 - 75)^{2}×0.10+(65 - 75)^{2}×0.20+(75 - 75)^{2}×0.35+(85 - 75)^{2}×0.30+(95 - 75)^{2}×0.05 = 110$

3. [2024·南阳一中月考]已知甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.
（1）求甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差；
（2）请根据甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差，分析谁的射击水平高.

答案： 3.
(1)由折线图可知甲射击$10$次中靶环数分别为$9,5,7,8,7,6,8,6,7,7$，乙射击$10$次中靶环数分别为$2,4,6,8,7,7,8,9,9,10$。
$\bar{x}_{甲}=\frac{1}{10}×(9 + 5 + 7 + 8 + 7 + 6 + 8 + 6 + 7 + 7)=7$，
$\bar{x}_{乙}=\frac{1}{10}×(2 + 4 + 6 + 8 + 7 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10)=7$，
$s_{甲}^{2}=\frac{1}{10}×[(9 - 7)^{2}+(5 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}×4+(6 - 7)^{2}×2+(8 - 7)^{2}×2]=1.2$，
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}×[(2 - 7)^{2}+(4 - 7)^{2}+(6 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}×2+(8 - 7)^{2}×2+(9 - 7)^{2}×2+(10 - 7)^{2}]=5.4$
(2)因为$\bar{x}_{甲}=\bar{x}_{乙},s_{甲}^{2}＜s_{乙}^{2}$，
所以甲的射击稳定性比乙好，故甲的射击水平高。