《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

11. [2024·曲阜一中期中]在复平面内作出复数$z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，$z_2 = - 1$，$z_3 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$对应的向量$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$，$\overrightarrow{OZ_3}$，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面内的位置关系。

答案：
11.根据复数与复平面内的点一一对应，可知点$Z_1,Z_2,Z_3$的坐标分别为$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$(-1,0)$，$(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$，则向量$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$，$\overrightarrow{OZ_3}$如图所示.
$\vert z_1\vert=\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=1$，$\vert z_2\vert=\vert -1\vert=1$.
$\vert z_3\vert=\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=1$.
在复平面$Oxy$内，点$Z_1,Z_3$关于实轴对称，且$Z_1,Z_2$，$Z_3$三点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上.

12. [2024·忻州二中月考]复数$z = i + i^2$，则$\overline{z}$在复平面内所对应的点位于(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 12.C 【解析】因为$z = i + i^2 = -1 + i$，所以$\overline{z} = -1 - i$，所以其对应的点$(-1,-1)$在第三象限.故选C.

13. [2024·唐山三中月考]在复平面内，复数$\overline{z} = \sin 2 + i\cos 2$，则z对应的点位于(A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 13.A 【解析】因为$\sin2 ＞ 0$，$\cos2 ＜ 0$，所以复数$z$对应的点$(\sin2,\cos2)$在第四象限，所以$z$对应的点在第一象限.故选A.

14. (多选)已知复数$z = a + bi$($a$，$b \in R$，i为虚数单位)，且$a + b = 1$，则(BC)

A.z不可能为纯虚数
B.若$z = \overline{z}$，则z是实数
C.若$z = \vert z\vert$，则z是实数
D.$\vert z\vert$可以等于$\frac{1}{2}$

答案： 14.BC 【解析】当$a = 0,b = 1$时，$z = i$为纯虚数，故A错误.若$z = \overline{z}$，则$a + bi = a - bi$，因此$b = 0$，故B正确.由$\vert z\vert$是实数，且$z = \vert z\vert$知，$z$是实数，故C正确.若$\vert z\vert=\frac{1}{2}$，则$a^2 + b^2=\frac{1}{4}$.因为$a + b = 1$，所以$8a^2 - 8a + 3 = 0$，则$\Delta = 64 - 4×8×3 = -32 ＜ 0$，无解，即$\vert z\vert$不可以等于$\frac{1}{2}$，故D错误.故选BC.

15. 已知复数z满足$\vert z\vert^2 - 2\vert z\vert - 3 = 0$，则复数z对应的点的集合是(A)

A.1个圆
B.线段
C.2个点
D.2个圆

答案： 15.A 【解析】由原方程可得$(\vert z\vert + 1)(\vert z\vert - 3)=0$.因为$\vert z\vert \geq 0$，所以$\vert z\vert - 3 = 0$，即$\vert z\vert = 3$.根据复数的模的几何意义，可知复数$z$在复平面内对应的点组成的集合是以$(0,0)$为圆心，3为半径的圆.

16. [2024·驻马店二中期中]设$z \in C$，且$1 \leq \vert z\vert \leq 2$，在复平面内，z对应点Z，则点Z的轨迹图形的面积为(C)

A.$\pi$
B.$2\pi$
C.$3\pi$
D.$4\pi$

答案： 16.C 【解析】由$z \in C$，且$1 \leq \vert z\vert \leq 2$知，在复平面内，$z$对应的点$Z$的轨迹图形为圆环，大圆半径为2，小圆半径为1，其面积为$\pi×2^2 - \pi×1^2 = 3\pi$.故选C.

17. [2024·江苏启东中学期中]已知x为实数，复数$z = x - 2 + (x + 2)i$。
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数$y = - mx + n$的图象上，其中$mn ＞ 0$，求$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$的最小值及取得最小值时m，n的值。

答案： 17.
(1)$\vert z\vert=\sqrt{(x - 2)^2 + (x + 2)^2}=\sqrt{2x^2 + 8} \geq 2\sqrt{2}$，当且仅当$x = 0$时，复数$z$的模最小，为$2\sqrt{2}$.
(2)当复数$z$的模最小时，$Z(-2,2)$.
因为点$Z$位于函数$y = -mx + n$的图象上，所以$2m + n = 2$.又$mn ＞ 0$，所以$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}=(\frac{1}{m} + \frac{1}{n})(\frac{m + n}{2})=\frac{3}{2} + \frac{m}{n} + \frac{n}{2m} \geq \frac{3}{2} + 2\sqrt{\frac{m}{n} · \frac{n}{2m}}=\frac{3}{2} + \sqrt{2}$，当且仅当$n^2 = 2m^2$时，等号成立.
又$2m + n = 2$，所以$m = 2 - \sqrt{2}$，$n = 2\sqrt{2} - 2$.
所以$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$的最小值为$\frac{3}{2} + \sqrt{2}$，此时$m = 2 - \sqrt{2}$，$n = 2\sqrt{2} - 2$.

18. [2024·西安中学期中]设全集$U = C$，$A = \{ z\mid\vert z\vert - 1\vert = 1 - \vert z\vert$，$z \in C\}$，$B = \{ z\mid\vert z\vert ＜ 1$，$z \in C\}$，若$z \in A \cap (\complement_U B)$，则复数z在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？

答案： 18.因为$z \in C$，所以$\vert z\vert \in R$.
由$\vert\vert z\vert - 1\vert - 1\vert \leq \vert z\vert$得$1 - \vert z\vert \geq 0$，
即$\vert z\vert \leq 1$，所以$A = \{z\vert\vert z\vert \leq 1,z \in C\}$，
因为$B = \{z\vert\vert z\vert ＜ 1,z \in C\}$，
所以$\complement_UB = \{z\vert\vert z\vert \geq 1,z \in C\}$.
因为$z \in A \cap (\complement_UB)$等价于$z \in A$，
且$z \in \complement_UB$，所以$\begin{cases} \vert z\vert \leq 1, \\ \vert z\vert \geq 1, \end{cases}$即$\vert z\vert = 1$.
由复数的模的几何意义知，复数$z$在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆心，1为半径的圆.