《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·太原五中月考]如图所示，在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁与B₁D₁相交于点O，E，F分别是B₁O，C₁O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(B)


A.3条
B.4条
C.5条
D.6条

答案： 1.B [解析]由于E，F分别是$B_{1}O，C_{1}O$的中点，故$EF// B_{1}C_{1}$，因为和棱$B_{1}C_{1}$平行的棱有AD，BC，$A_{1}D_{1}$，所以符合题意的棱共有4条.

2. [2024·营口二中单元检测]已知在棱长为a的正方体ABCD - A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A'C'的位置关系是平行。

答案： 2.平行 [解析]由题得，$MN// AC，AC// A^{\prime}C^{\prime}$，所以$MN// A^{\prime}C^{\prime}$.

3. [2024·松滋一中单元检测]已知∠BAC = ∠B₁A₁C₁，AB // A₁B₁，则AC与A₁C₁的位置关系是(D)

A.相交
B.异面
C.平行
D.以上均有可能

答案：
3.D [解析]如图所示，$\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1}，AB// A_{1}B_{1}$，则AC与$A_{1}C_{1}$的位置关系是平行、相交或异面.故选D.

4. [2024·复旦附中单元检测]已知AB // PQ，BC // QR，∠ABC = 30°，则∠PQR =(B)

A.30°
B.30°或150°
C.150°
D.以上都不对

答案： 4.B [解析]$\angle ABC$的两边与$\angle PQR$的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，由等角定理知$\angle PQR=30^{\circ}$或$150^{\circ}$.故选B.

5. [2024·西安三中期中]已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD = 2，AC = 4，则EG² + HF²的值是(B)

A.5
B.10
C.12
D.不能确定

答案：
5.B [解析]如图所示，由三角形中位线的性质，可得$EH//\frac{1}{2}BD，FG//\frac{1}{2}BD$，再根据基本事实4可得四边形EFGH为平行四边形，所以$EG^{2}+HF^{2}=2 × (1^{2}+2^{2})=10$.故选B.

6. [2024·大连三中月考]如图，在四面体A - BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法不正确的是(D)


A.M，N，P，Q四点共面
B.∠QME = ∠DBC
C.△BCD ∽ △MEQ
D.四边形MNPQ为梯形

答案： 6.D [解析]由中位线定理，易知$MQ// BD，ME// BC，QE// CD，NP// BD$.对于A，由基本事实4易得$MQ// NP$，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据等角定理，得$\angle QME=\angle DBC$，故B正确；对于C，由等角定理，知$\angle QME=\angle DBC，\angle MEQ=\angle BCD$，所以$\triangle BCD\sim\triangle MEQ$，故C正确；由三角形的中位线定理及基本事实4，知$MQ// BD，MQ=\frac{1}{2}BD，NP// BD，NP=\frac{1}{2}BD$，所以$MQ// NP$，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确.故选D.

7. [2024·重庆巴蜀中学月考]如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC $\equalparallel$ $\frac{1}{2}$AD，BE $\equalparallel$ $\frac{1}{2}$FA，G，H分别为FA，FD的中点。
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

答案： 7.
(1)证明：由G，H分别为FA，FD的中点，可得$GH//\frac{1}{2}AD$.因为$BC//\frac{1}{2}AD$，所以$GH// BC$，所以四边形BCHG是平行四边形.
(2)C，D，F，E四点共面.理由如下：
由$BE//\frac{1}{2}FA$，G为FA的中点知，$BE// FG$，所以四边形BEFG为平行四边形，所以$EF// BG$.
由
(1)知$BG// CH$，所以$EF// CH$，所以EF与CH共面.
又$D\in FH$，所以C，D，F，E四点共面.