《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·合肥二中周练]下列三种说法中，正确的是(B)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量。

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

答案： 1.B【解析】由于任意两个不共线的向量$a$，$b$都可以作为基底，故①错误，而②③正确，故选B.

2. [2024·四川双流中学月考](多选)如图，O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的交点，给出下列向量组，其中可作为平行四边形所在平面的一组基底的向量组有(AD)

A.$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AB}$
B.$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BC}$
C.$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$
D.$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{DC}$

答案： 2.AD【解析】对于A，由于$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AB}$不共线，所以可以作为平面的一组基底；对于B，由于$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BC}$共线，所以不可以作为平面的一组基底；对于C，由于$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$共线，所以不可以作为平面的一组基底；对于D，由于$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{DC}$不共线，所以可以作为平面的一组基底.故选AD.

3. [2024·芜湖一中周练]已知$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是(C)
①$\lambda_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\lambda_{2}\boldsymbol{e}_{2}$($\lambda_{1}$，$\lambda_{2}$为实数)可以表示该平面内所有向量；
②若有实数$\lambda_{1}$，$\lambda_{2}$，使$\lambda_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\lambda_{2}\boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{0}$，则$\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$。

A.①
B.②
C.①②
D.以上都不对

答案： 3.C【解析】由平面向量基本定理可知，$\lambda_1\boldsymbol{e}_1+\lambda_2\boldsymbol{e}_2$（$\lambda_1$，$\lambda_2$为实数）可以表示该平面内所有向量，故①正确；若有实数$\lambda_1$，$\lambda_2$使$\lambda_1\boldsymbol{e}_1+\lambda_2\boldsymbol{e}_2=0$，则由平面向量基本定理可得$\lambda_1=\lambda_2=0$，故②正确.故选C.

4. 如图所示，平面内的两条相交直线$OP_{1}$和$OP_{2}$将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)。若$\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OP_{1}}+b\overrightarrow{OP_{2}}$，且点 P 落在第Ⅲ部分，则实数 a，b 满足(B)

A.$a＞0$，$b＞0$
B.$a＞0$，$b＜0$
C.$a＜0$，$b＞0$
D.$a＜0$，$b＜0$

答案： 4.B【解析】取第Ⅲ部分内一点画图易得$a＞0$，$b＜0$.

5. 如图，已知 AB 是圆 O 的直径，C，D 是半圆弧的两个三等分点，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{AD}=$(D)

A.$\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
B.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
D.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$

答案：
5.D【解析】连接$OC$，$OD$，$CD$，如图，
由C，D是半圆弧的两个三等分点，
可得$\angle AOC=\angle COD=\angle BOD=60^{\circ}$，且$\triangle OAC$和$\triangle OCD$均为边长等于圆$O$半径的等边三角形，所以四边形$OACD$为菱形，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.故选D.

6. [2024·杭州二中月考]如图所示，在$\triangle ABC$中，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，AP 的中点为 Q，BQ 的中点为 R，CR 的中点恰为 P，则$\overrightarrow{AP}=$(C)

A.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
B.$\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$
C.$\frac{2}{7}\boldsymbol{a}+\frac{4}{7}\boldsymbol{b}$
D.$\frac{4}{7}\boldsymbol{a}+\frac{2}{7}\boldsymbol{b}$

答案： 6.C【解析】连接$BP$，则$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}=\boldsymbol{b}+\overrightarrow{PR}$①，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\boldsymbol{a}+\overrightarrow{RP}-\overrightarrow{RB}$②.由①+②，得$2\overrightarrow{AP}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\overrightarrow{RB}$③.又$\overrightarrow{RB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{QB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AQ})=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AP})$④，将④代入③，得$2\overrightarrow{AP}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AP})$，解得$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{7}\boldsymbol{a}+\frac{4}{7}\boldsymbol{b}$.

7. (多选)在梯形 ABCD 中，$AB// CD$，$AB = 2CD$，E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC 与 BD 交于点 M。设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，则下列结论正确的有(ABD)

A.$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
B.$\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
C.$\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$
D.$\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{4}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$

答案： 7.ABD【解析】由题意可得，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，故A正确；$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，故B正确；由$\triangle CMD\backsim\triangle AMB$，且$CD=\frac{1}{2}AB$得$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=-\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{a}=\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-\frac{2}{3}\boldsymbol{a}$，故C错误；$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}-\frac{1}{4}\boldsymbol{a}$，故D正确.故选ABD.