《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·吉安一中月考]已知一组数据 $ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5} $ 的平均数是 $ \overline{x}=2 $，方差是 $ \frac{1}{3} $，那么另一组数据 $ 3x_{1}-2,3x_{2}-2,3x_{3}-2,3x_{4}-2,3x_{5}-2 $ 的平均数和方差分别为(D)

A.$ 2,\frac{1}{3} $
B.$ 2,1 $
C.$ 4,\frac{1}{3} $
D.$ 4,3 $

答案： 1.D 【解析】平均数为$\bar{x}'=3x - 2=3×2 - 2=4$，方差为$s'^{2}=9s^{2}=9×\frac{1}{3}=3$。

2. [2024·杭州二中月考]设样本数据 $ x_{1},x_{2},·s,x_{2024} $ 的平均数为 $ \overline{x} $，方差为 $ s^{2} $，若数据 $ 2(x_{1}+1),2(x_{2}+1),·s,2(x_{2024}+1) $ 的平均数比方差大4，则 $ s^{2}-\overline{x}^{2} $ 的最大值为(A)

A.$ -1 $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ -2 $
D.$ 1 $

答案： 2.A 【解析】设数据$2(x_{1}+1),2(x_{2}+1),·s,2(x_{2024}+1)$的平均数为$\bar{x}_{0}$，方差为$s_{0}^{2}$，则$\bar{x}_{0}=2(\bar{x}+1),s_{0}^{2}=4s^{2}$，由题意可得$2(\bar{x}+1)=4s^{2}+4$，所以$s^{2}=\frac{1}{2}\bar{x}-\frac{1}{2}$，则$s^{2}-\bar{x}^{2}=\frac{1}{2}\bar{x}-\frac{1}{2}-\bar{x}^{2}=-(\bar{x}-\frac{1}{4})^{2}-\frac{7}{16}$。因为$s^{2}=\frac{1}{2}\bar{x}-\frac{1}{2}\geqslant0$，所以$\bar{x}\geqslant1$，故当$\bar{x}=1$时，$s^{2}-\bar{x}^{2}$取得最大值$-1$。故选A。

3. [2024·商丘一中期末]一名射击运动员连续射击5次，所得环数的平均数为8，标准差为1.2，则这5次射击不可能出现的环数是(A)

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 3.A 【解析】由标准差为$1.2$，得方差为$1.44$。设$5$次射击的环数分别为$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$，则$\frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-8)^{2}=1.44$，所以若出现$5$环，则$\frac{(5 - 8)^{2}}{5}=1.8＞1.44$，故不可能出现$5$环；若出现$6$环、$7$环、$8$环，均可以使得$\frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-8)^{2}=1.44$有解，故可以出现。故选A。

4. [2024·陕西师大附中期中](多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(CD)


A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差

答案： 4.CD 【解析】由题意可知，甲的成绩为$4,5,6,7,8$，乙的成绩为$5,5,5,6,9$，所以甲、乙的成绩的平均数均为$6$，A错误；甲、乙的成绩的中位数分别为$6,5$，B错误；甲、乙的成绩的方差分别为$\frac{1}{5}×[(4 - 6)^{2}+(5 - 6)^{2}+(6 - 6)^{2}+(7 - 6)^{2}+(8 - 6)^{2}]=2$，$\frac{1}{5}×[(5 - 6)^{2}+(5 - 6)^{2}+(5 - 6)^{2}+(6 - 6)^{2}+(9 - 6)^{2}]=\frac{12}{5}$，C正确；甲、乙的成绩的极差均为$4$，D正确。故选CD。

5. [2024·株洲三中月考]已知样本9，10，11，$ x $，$ y $ 的平均数是10，标准差为 $ \sqrt{2} $，则 $ xy= $96.

答案： 5.96 【解析】由平均数得$9 + 10 + 11 + x + y = 50$，所以$x + y = 20$。由标准差得$(9 - 10)^{2}+(10 - 10)^{2}+(11 - 10)^{2}+(x - 10)^{2}+(y - 10)^{2}=(\sqrt{2})^{2}×5 = 10$，所以$x^{2}+y^{2}-20(x + y)= - 192$，故$(x + y)^{2}-2xy - 20(x + y)= - 192$，所以$xy = 96$。

6. [2024·威海一中期末]若40个数据的平方和是56，平均数是 $ \frac{\sqrt{2}}{2} $，则这组数据的方差是0.9，标准差是$\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

答案： 6.$0.9\frac{3\sqrt{10}}{10}$ 【解析】设这$40$个数据为$x_{i}(i = 1,2,·s,40)$，平均数为$\bar{x}$。
则$s^{2}=\frac{1}{40}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+·s+(x_{40}-\bar{x})^{2}]$
$=\frac{1}{40}[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+·s+x_{40}^{2}+40\bar{x}^{2}-2\bar{x}(x_{1}+x_{2}+·s+x_{40})]$
$=\frac{1}{40}×[56 + 40×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}×40×\frac{\sqrt{2}}{2}]$
$=\frac{1}{40}×(56 - 40×\frac{1}{2})=0.9$
所以$s=\sqrt{0.9}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

7. [2024·乐山一中月考](多选)某高中有学生500人，其中男生有300人，女生有200人，希望获得全体学生的身高(单位：cm)信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高的样本均值为170，方差为17；女生身高样本均值为160，方差为30.下列说法中正确的有(AC)

A.样本中男生的人数为30
B.每个女生入样的概率均为 $ \frac{2}{5} $
C.所有样本的均值为166
D.所有样本的方差为22.2

答案： 7.AC 【解析】对于A，由题意，得样本中男生有$\frac{50}{500}×300 = 30$(人)，故A正确。对于B，每个女生入样的概率为$\frac{50}{500}=\frac{1}{10}$，故B不正确。对于C，由分层随机抽样知，样本中男生有$30$人，女生有$20$人，所有样本的均值为$\frac{170×30 + 160×20}{50}=166$，故C正确。对于D，设样本中男生的身高分别为$x_{1},x_{2},·s,x_{30}$，平均数$\bar{x}=170,s_{x}^{2}=17$，样本中女生的身高分别为$y_{1},y_{2},·s,y_{20}$，平均数$\bar{y}=160,s_{y}^{2}=30$，总体的平均数为$\bar{z}=166$，方差为$s^{2}$，则$s^{2}=\frac{1}{50}[\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-166)^{2}+\sum_{i = 1}^{20}(y_{i}-166)^{2}]$。因为$\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-166)^{2}=\sum_{i = 1}^{30}[(x_{i}-170)+(170 - 166)]^{2}=\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-170)^{2}+2\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-170)(170 - 166)$，而$\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-170)(170 - 166)=4×(\sum_{i = 1}^{30}x_{i}-30×170)=0$，所以$\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-166)^{2}=\sum_{i = 1}^{30}(x_{i}-170)^{2}+\sum_{i = 1}^{30}(170 - 166)^{2}=30×17 + 4^{2}×30 = 990$，同理可得$\sum_{i = 1}^{20}(y_{i}-166)^{2}=\sum_{i = 1}^{20}(y_{i}-160)^{2}+\sum_{i = 1}^{20}(160 - 166)^{2}=20×30+6^{2}×20 = 1320$，所以$s^{2}=\frac{1}{50}×(990 + 1320)=46.2$，故D不正确。故选AC。

8. [2024·郑州一中月考]在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差.（精确到0.1）

答案： 8.把甲同学抽取的样本的平均数记为$\bar{x}$，方差为$s_{x}^{2}$；把乙同学抽取的样本的平均数记为$\bar{y}$，方差记为$s_{y}^{2}$；把合在一起的样本的平均数记为$\bar{a}$，方差记为$s^{2}$。则$\bar{a}=\frac{10×5 + 8×6}{10 + 8}\approx5.4$，
$s^{2}=\frac{10×[s_{x}^{2}+(\bar{x}-\bar{a})^{2}]+8×[s_{y}^{2}+(\bar{y}-\bar{a})^{2}]}{10 + 8}$
$=\frac{10×[9+(5 - 5.4)^{2}]+8×[16+(6 - 5.4)^{2}]}{18}$
$\approx12.4$
即样本的平均数为$5.4$，方差为$12.4$。