《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

易错 1 对简单随机抽样的等可能性理解不透而致误
1. 一个布袋中有 10 个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取 3 个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是$\frac{3}{10}$；第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是$\frac{1}{8}$。

答案： 1. $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{8}$ 【解析】因为在简单随机抽样过程中，每个个体被抽到的可能性是相等的，均为$\frac{n}{N}$，所以第一个空填$\frac{3}{10}$。因本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个
小球被抽到的可能性为$\frac{1}{10}$；第二次抽取时，还剩下 9 个小球，每个小球被抽到的可能性为$\frac{1}{9}$；第三次抽取时，还剩下 8 个小球，每个小球被抽到的可能性为$\frac{1}{8}$。
易错警示
简单随机抽样时，每个个体入样的可能性是相等的，均为$\frac{n}{N}$，但要将每个个体入样的可能性与第 n 次抽取时每个个体被抽到的可能性区分开，避免解题中出错。

易错 2 对分层随机抽样的实质理解不透而致误
2. [2024·江西临川一中月考]某单位有老年人 28 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为 36 的样本，则适合的抽样方法是(C)

A.抽签法
B.随机数法
C.直接采用分层随机抽样
D.先从老年人中剔除 1 人，再采用分层随机抽样

答案： 2.C 【解析】直接采用分层随机抽样，老年人、中年人和青年人中应抽取的人数分别为$\frac{36}{28 + 54 + 81}×28≈6$，
$\frac{36}{28 + 54 + 81}×54≈12$，$\frac{36}{28 + 54 + 81}×81≈18$。故选 C。
易错警示
分层随机抽样的核心是按比例等可能抽样。当按照比例计算出的值不是整数时，一般采用四舍五入的方法取值，若四舍五入后抽到的样本量与要求的不相同，则可根据问题的实际意义适当处理，使之相同，这只是细节性问题，但未改变分层随机抽样的本质。

易错 3 对频率分布直方图的特征理解出错
3. [2024·江苏启东中学期末](多选)某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召，调查该校 3 000 名学生每周平均体育运动时间(单位：h)的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照 4:3:3 的比例进行分层随机抽样，收集了 300 名学生每周平均体育运动时间的数据，整理后得到如图所示的频率分布直方图。下列说法正确的有(ABD)


A.估计该校学生每周平均体育运动时间为 5.8 h
B.估计高一年级学生每周平均体育运动时间不足 4 h 的人数为 300
C.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 h 的百分比为 10%
D.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 h 的人数为 600

答案： 3.ABD 【解析】对于 A，估计该校学生每周平均体育运动时间为$1×0.05 + 3×0.2 + 5×0.3 + 7×0.25 + 9×0.15 + 11×0.05 = 5.8(h)$，故 A 正确；对于 B，高一年级的总人数为$3000×\frac{4}{4 + 3 + 3}=1200$，由题中频率分布直方图可知，该校学生每周平均体育运动时间不足 4h 的频率为$(0.025 + 0.100)×2 = 0.25$，所以估计高一年级学生每周平均体育运动时间不足 4h 的人数为$1200×0.25 = 300$，故 B 正确；对于 C，该校学生每周平均体育运动时间不少于 8h 的百分比为$(0.075 + 0.025)×2×100\% = 20\%$，故 C 错误；对于 D，该校学生每周平均体育运动时间不少于 8h 的人数为$3000×20\% = 600$，故 D 正确。故选 ABD。
易错警示
利用频率分布直方图解决相关问题时，要注意两点：一是频率分布直方图中小矩形的面积是频率；二是频率分布直方图中原始数据损失，往往用每组区间的中点值代替。

易错 4 不能正确根据频率分布直方图求样本的数字特征而致误
4. (多选)某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙地区分别随机调查了 100 个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图，如图所示。若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为 $ m_1 $，$ m_2 $，平均数分别为 $ x_1 $，$ x_2 $，则下列结论正确的有(BC)


A.$ m_1 ＞ m_2 $
B.$ m_1 ＜ m_2 $
C.$ x_1 ＜ x_2 $
D.$ x_1 ＞ x_2 $

答案： 4.BC 【解析】由题中频率分布直方图得，甲地区$[40,60)$的频率为$(0.015 + 0.020)×10 = 0.35$，$[60,70)$的频率为$0.025×10 = 0.25$，所以甲地区用户满意度评分的中位数$m_1 = 60 + \frac{0.5 - 0.35}{0.25}×10 = 66$，甲地区的平均数$x_1 = 45×0.015×10 + 55×0.020×10 + 65×0.025×10 + 75×0.020×10 + 85×0.010×10 + 95×0.010×10 = 67$。
乙地区$[50,70)$的频率为$(0.005 + 0.020)×10 = 0.25$，$[70,80)$的频率为$0.035×10 = 0.35$，所以乙地区用户满意度评分的中位数$m_2 = 70 + \frac{0.5 - 0.25}{0.35}×10≈77.1$，乙地区的平均数$x_2 = 55×0.005×10 + 65×0.020×10 + 75×0.035×10 + 85×0.025×10 + 95×0.015×10 = 77.5$，所以$m_1 ＜ m_2$，$x_1 ＜ x_2$。故选 BC。
易错警示
频率分布直方图中的众数是最高小矩形底边中点的横坐标；中位数是平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；平均数是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和。