《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·泰安一中月考]若复数 $ z = \frac{a}{1 - 2i} + i $(i 为虚数单位)的实部与虚部互为相反数，则实数 $ a = $(A)

A.$ -\frac{5}{3} $
B.$ -\frac{1}{3} $
C.-1
D.-5

答案： 1.A 【解析】$z=\frac{a}{1-2i}+i=\frac{a(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}+i=\frac{a}{5}+(\frac{2a}{5}+1)i$.由题意，知$\frac{a}{5}+(\frac{2a}{5}+1)=0$，解得$a=-\frac{5}{3}$.故选A.

2. [2024·威海三中期中]已知 $ a $ 为实数，若 $ \frac{1 + 2i}{a + i} \gt \frac{3}{2} $(i 为虚数单位)，则 $ a = $(D)

A.1
B.-2
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 2.D 【解析】因为$\frac{1+2i}{a+i}=\frac{(1+2i)(a-i)}{(a+i)(a-i)}=\frac{a+2}{a^2+1}+\frac{2a-1}{a^2+1}i$，
所以$\begin{cases}\frac{2a-1}{a^2+1}=0,\frac{a+2}{a^2+1}＞\frac{3}{2},\end{cases}$所以$a=\frac{1}{2}$.故选D.

3. [2024·惠州一中期末]已知复数 $ z = \frac{\sqrt{3}}{2} - ai,a \in \mathbf{R} $，且 $ z^2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $，则 $ a $ 的值为(A)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{4} $
D.1

答案： 3.A 【解析】因为$z^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}-ai)^2=\frac{3}{4}-a^2-\sqrt{3}ai$，所以$\frac{3}{4}-a^2-\sqrt{3}ai=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，则$\begin{cases}\frac{3}{4}-a^2=\frac{1}{2},\\-\sqrt{3}a=-\frac{\sqrt{3}}{2},\end{cases}$解得$a=\frac{1}{2}$.

4. [2024·龙岩一中月考]若复数 $ \frac{a + 3i}{1 - 2i} $($ a \in \mathbf{R} $，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数 $ a $ 的值为6。

答案： 4.6 【解析】由题意得，$\frac{a+3i}{1-2i}=\frac{(a+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{a-6}{5}+\frac{3+2a}{5}i$，因为$\frac{a+3i}{1-2i}$是纯虚数，所以$\begin{cases}\frac{a-6}{5}=0,\frac{3+2a}{5}\neq0,\end{cases}$解得$a=6$.

5. [2024·信阳一中月考]已知 $ z $ 是复数，$ z + 2i,\frac{z}{2 - i} $ 均为实数，且复数 $ (z + ai)^2 $ 在复平面内对应的点在第一象限，则实数 $ a $ 的取值范围为(2,6)。

答案： 5.(2,6) 【解析】设$z=c+di,c,d\in \mathbf{R}$，则$z+2i=c+(d+2)i$为实数，所以$d=-2$，即$z=c-2i$.因为$\frac{z}{2-i}=\frac{c-2i}{2-i}=\frac{2c+2+(c-4)i}{5}$为实数，所以$c=4$，所以$z=4-2i$.因为$(z+ai)^2=[4-(2-a)i]^2=16-(2-a)^2-8(2-a)i$在复平面内对应的点在第一象限，所以$\begin{cases}16-(2-a)^2＞0,\\-8(2-a)＞0,\end{cases}$解得$2＜a＜6$.

6. [2024·利川一中月考]已知 $ z = 1 + i $，若 $ \frac{z^2 + az + b}{z^2 - z + 1} = 1 - i $，则实数 $ a,b $ 分别为-1,2。

答案： 6.-1,2 【解析】由$\frac{z^2+az+b}{z^2-z+1}=1-i$，得$z^2+az+b=(1-i)(z^2-z+1)$，将$z=1+i$代入得，$(1+i)^2+a(1+i)+b=(1-i)[(1+i)^2-(1+i)+1]$，即$2i+a+ai+b=(1-i)(2i-1-i+1)=(1-i)(i)=1+i$，所以$(a+b)+(a+2)i=1+i$，所以$\begin{cases}a+b=1,\\a+2=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2.\end{cases}$

7. [2024·阳江一中周练]定义运算 $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $，则符合条件 $ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ z & zi \end{vmatrix} = 4 + 2i $(i 为虚数单位)的复数 $ z $ 在复平面内对应的点位于( )

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 7.D 【解析】依题意得，$zi+z=4+2i$，所以$z=\frac{4+2i}{1+i}=3-i$，对应的点的坐标为$(3,-1)$，位于第四象限.故选D.

8. [2024·山西四校联考]“复数 $ z = \frac{3 - ai}{i} $($ a \in \mathbf{R} $)在复平面内对应的点在第三象限”是“$ a \geqslant 0 $”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 8.A 【解析】$z=\frac{3-ai}{i}=-a-3i$在复平面内对应的点在第三象限，则$a＞0$，易知“$a＞0$”是“$a\geqslant0$”的充分不必要条件.故选A.

9. [2024·贵阳一中月考]在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为 $ \frac{3 + i}{1 - i}, - 2 + i,0 $，则第四个顶点对应的复数为-1+3i。

答案： 9.-1+3i 【解析】$\frac{3+i}{1-i}=\frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+4i}{2}=1+2i$.设复数$z_1=1+2i,z_2=-2+i,z_3=0$，它们在复平面上的对应点分别是$A,B,C$，所以$A(1,2),B(-2,1),C(0,0)$.
由图可知(图略)，$AC\perp BC$.设正方形$ADBC$的第四个顶点$D$对应的坐标是$(x,y)$，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$，所以$(x-1,y-2)=(-2,1)$，所以$x-1=-2,y-2=1$，所以$x=-1,y=3$.所以第四个顶点对应的复数为$-1+3i$.

10. [2024·洛阳一中月考]定义：复数 $ b + ai $ 是 $ z = a + bi $($ a,b \in \mathbf{R} $)的转置复数，记为 $ z' = b + ai $。若 $ |z| = \sqrt{2} $，则 $ |(z' + z)(z' + \overline{z})| $ 的最大值为4\sqrt{2}。

答案： 10.$4\sqrt{2}$ 【解析】设$z=a+bi(a,b\in \mathbf{R})$，则$z'=b+ai,z'+z=(a+b)+(a+b)i,z'+\overline{z}=(a+b)+(a-b)i$.因为$|z|=\sqrt{2}$，所以$a^2+b^2=2$，所以$|(z'+z)(z'+\overline{z})|=|z'+z||z'+\overline{z}|=\sqrt{2(a+b)^2}·\sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}=\sqrt{2(a^2+b^2+2ab)}·\sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{4(a^2+b^2)}·\sqrt{2(a^2+b^2)}=4\sqrt{2}$，当且仅当$a=b$时，等号成立.

11. [2024·常德一中月考]已知 i 为虚数单位，复数 $ z $ 满足 $ |z|i + z = 3 + 9i $，
(1) 求 $ z $；
(2) 在复平面内，$ O $ 为坐标原点，向量 $ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} $ 对应的复数分别是 $ z,c + (2 - c)i $，若 $ \angle AOB $ 是直角，求实数 $ c $ 的值。

答案： 11.
(1)设$z=a+bi(a,b\in \mathbf{R})$，由$|z|i+z=3+9i$，得$a+(b+\sqrt{a^2+b^2})i=3+9i$，所以$\begin{cases}a=3,\\b+\sqrt{a^2+b^2}=9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=4.\end{cases}$所以$z=3+4i$.
(2)由题意，$A,B,O$的坐标分别为$(3,4),(c,2-c),(0,0)$，所以$\overrightarrow{OA}=(3,4),\overrightarrow{OB}=(c,2-c)$.因为$\angle AOB$是直角，所以$3c+4(2-c)=0$，即$c=8$.