《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·西安中学周练]设集合 $ M = \{ y | y =$ $ | \cos ^ { 2 } x - \sin ^ { 2 } x | , x \in \mathbf { R } \} , N = \left\{ x | \left| x - \frac { 1 } { \mathrm { i } } \right| ＜ \right.$ $\sqrt { 2 } , x \in \mathbf { R } \}$，i 为虚数单位，则 $ M \cap N =$ (C)

A.$( 0,1 )$
B.$( 0,1 ]$
C.$[ 0,1 )$
D.$[ 0,1 ]$

答案： 1.C[解析]因为y = |cos²x - sin²x| = |cos 2x|，所以y∈[0, 1]，所以M = [0, 1]。在N中，x∈R且|x - $\frac{1}{i}$ - $\frac{1}{i}$| ＜ $\sqrt{2}$，所以|x + i| ＜ $\sqrt{2}$，所以x² + 1 ＜ 2，解得 - 1 ＜ x ＜ 1，所以N = (- 1, 1)，所以M∩N = [0, 1)。

2. [2024·上海交大附中期中](多选)一个复数集 $ X $ 称为某种运算的“和谐集”是指 $ X $ 满足性质:① $ X \subseteq \mathbf { C } $；② $ \forall a , b \in X $，对某种规定的运算 $ a \oplus b $，都有 $ a \oplus b \in X $。下列数集 $ X $ 是相应运算的“和谐集”的有 (ABCD)

A.$ X = \{ x \in \mathbf { C } | x = \mathrm { i } ^ { n } , \forall n \in \mathbf { Z } \} $，其中 i 是虚数单位，规定运算: $ a \oplus b = a × b ( \forall a , b \in X ) $
B.$ X = \{ x \in \mathbf { C } | x · \overline { x } = 1 \} $，规定运算: $ a \oplus b =$ $\frac { a } { b } ( \forall a , b \in X ) $
C.$ X = \{ x \in \mathbf { C } | | x | \leqslant 1 \} $，规定运算: $ a \oplus b =$ $ a × b ( \forall a , b \in X ) $
D.$ X = \{ x \in \mathbf { C } | | \overline { x } | + | \overline { y } | \leqslant | x - y | , y = 1 + $ $ \mathrm { i } \} $，其中 i 是虚数单位，规定运算: $ a \oplus b =$ $ a + b ( \forall a , b \in X ) $

答案： 2.ABCD[解析]对于A，设a = iⁿ¹，b = iⁿ²(n₁,n₂∈Z)，则a⊕b = a×b = iⁿ¹⁺ⁿ²。因为n₁,n₂∈Z，所以n₁ + n₂∈Z，所以iⁿ¹⁺ⁿ²∈X，即a⊕b∈X，故A正确。对于B，∀a,b∈X，则a·$\overline{a}$ = 1，b·$\overline{b}$ = 1，故$\frac{a\overline{a}}{b\overline{b}}$ = 1，即($\frac{a}{b}$)·($\frac{\overline{a}}{\overline{b}}$) = 1，所以$\frac{a}{b}$∈X，即a⊕b∈X，故B正确。对于C，∀a,b∈X，则|a|≤1，|b|≤1，所以|a×b| = |a||b|≤1，即a×b∈X，即a⊕b∈X，故C正确。对于D，因为在复数范围内，|$\overline{x}$| = |x|，|$\overline{y}$| = |y|，所以由|$\overline{x}$| + |$\overline{y}$|≤|x - y|得|x| + |y|≤|x - y|，由复数的模的不等式知存在实数k≤0，使得x = ky。因为y = 1 + i，所以由x∈X，知存在实数k≤0，使得x = k(1 + i)，∀a,b∈X，a = k(1 + i)，b = k'(1 + i)(k≤0,k'≤0)，所以a⊕b = a + b = (k + k')(1 + i)。因为k≤0，k'≤0，所以k + k'≤0，所以a⊕b∈X，故D正确。故选ABCD。

3. 设 $ z _ { 1 } , z _ { 2 } \in \mathbf { C } $，则“$ z _ { 1 } , z _ { 2 } $ 中至少有一个数是虚数”是“$ z _ { 1 } - z _ { 2 } $ 是虚数”的 (B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.B[解析]若z₁，z₂皆是实数，则z₁ - z₂一定不是虚数，因此当z₁ - z₂是虚数时，z₁，z₂中至少有一个数是虚数，所以必要性成立；当z₁，z₂中至少有一个数是虚数时，z₁ - z₂不一定是虚数，如z₁ = z₂ = i，即充分性不成立。故选B。

4. [2024·成都七中期中]设 $ z $ 为复数，则“$ z =$ $ - \mathrm { i } $”是“$ \mathrm { i } · z = | z | ^ { 2 } $”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4.A[解析]①当z = - i时，i·z = - i² = 1。因为|- i|² = 1，所以“z = - i”是“i·z = |z|²”的充分条件；
②当i·z = |z|²时，设z = bi，b∈R，则b = 0或b = - 1，即z = - i或z = 0，即“z = - i”不是“i·z = |z|²”的必要条件。综合①②，得“z = - i”是“i·z = |z|²”的充分不必要条件。故选A。

5. [2024·曲靖一中月考]已知复数 $ z _ { 1 } , z _ { 2 } $ 满足 $ | z _ { 1 } | = | z _ { 2 } | = 1 ( z _ { 1 } \neq z _ { 2 } ) $，$ | z _ { k } + 1 + \mathrm { i } | + | z _ { k } -$ $ 1 - \mathrm { i } | = 2 \sqrt { 3 } ( k = 1,2 ) $，则 $ z _ { 1 } z _ { 2 } =$ i。

答案： 5.i[解析]设z₁ = cosα + i sinα，z₂ = cosβ + i sinβ，则$\sqrt{(\cosα + 1)^2 + (\sinα + 1)^2}$ + $\sqrt{(\cosα - 1)^2 + (\sinα - 1)^2}$ = 2$\sqrt{3}$，整理可得$\sqrt{3 + 2(\cosα + \sinα)}$ + $\sqrt{3 - 2(\cosα + \sinα)}$ = 2$\sqrt{3}$，解得sinα + cosα = 0。
同理可得sinβ + cosβ = 0。
因为z₁≠z₂，
所以α = $\frac{3π}{4}$ + 2k₁π，β = $\frac{7π}{4}$ + 2k₂π，k₁,k₂∈Z。
而z₁z₂ = cos(α + β) + i sin(α + β)，所以z₁z₂ = i。

6. [2024·曲阜一中月考]已知复数 $ z _ { 1 } = 2 \sin \theta -$ $ \sqrt { 3 } \mathrm { i } , z _ { 2 } = 1 + ( 2 \cos \theta ) \mathrm { i } , \theta \in \left[ \frac { \pi } { 3 } , \frac { \pi } { 2 } \right] $。
(1)若 $ z _ { 1 } · z _ { 2 } $ 为实数，求角 $ \theta $ 的值；
(2)若复数 $ z _ { 1 } , z _ { 2 } $ 对应的向量分别是 $ \boldsymbol { a } , \boldsymbol { b } $，存在 $ \theta $ 使等式 $ ( \lambda \boldsymbol { a } + \boldsymbol { b } ) · ( \boldsymbol { a } + \lambda \boldsymbol { b } ) = 0 $ 成立，求实数 $ \lambda $ 的取值范围。

答案： 6.
(1)z₁·z₂ = (2 sinθ - $\sqrt{3}$i)[1 + (2 cosθ)i] = (2 sinθ + 2$\sqrt{3}$cosθ) + (2 sin 2θ - $\sqrt{3}$)i，
因为z₁·z₂为实数，所以sin 2θ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
又θ∈[$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$]，所以$\frac{2π}{3}$≤2θ≤π，所以2θ = $\frac{2π}{3}$，即θ = $\frac{π}{3}$。
(2)因为z₁ = 2 sinθ - $\sqrt{3}$i，z₂ = 1 + (2 cosθ)i，
所以a = (2 sinθ, - $\sqrt{3}$)，b = (1, 2 cosθ)，
所以a² + b² = 4 sin²θ + 3 + 1 + 4 cos²θ = 8，
a·b = 2 sinθ - 2$\sqrt{3}$cosθ。
由(λa + b)·(a + λb) = λ(a² + b²) + (1 + λ²)a·b = 0，得8λ + (1 + λ²)(2 sinθ - 2$\sqrt{3}$cosθ) = 0，
整理得$\frac{2λ}{1 + λ²}$ = - sin(θ - $\frac{π}{3}$)。
因为θ∈[$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$]，所以θ - $\frac{π}{3}$∈[0,$\frac{π}{6}$]，
所以sin(θ - $\frac{π}{3}$)∈[0,$\frac{1}{2}$]，所以 - $\frac{1}{2}$≤$\frac{2λ}{1 + λ²}$≤0，
解得λ≤ - 2 - $\sqrt{3}$或 - 2 + $\sqrt{3}$≤λ≤0。

7. [2024·辽阳一中期末]设复数 $ z _ { 1 } , z _ { 2 } $ 在复平面内对应的点分别为 $ Z _ { 1 } , Z _ { 2 } $，若 $ | z _ { 1 } | \leqslant 2 $，$ z _ { 2 } = 3 - 4 \mathrm { i } $，则 $ | \overrightarrow { Z _ { 1 } Z _ { 2 } } | $ 的最大值为 (C)

A.3
B.5
C.7
D.9

答案： 7.C[解析]满足|z|≤2的点Z₁的集合是圆心在原点O，半径R = 2的圆及其内部。Z₂的坐标为(3, - 4)，所以|$\overrightarrow{Z_1Z_2}$|的最大值为|OZ₂| + R = $\sqrt{3^2 + (-4)^2}$ + 2 = 7。故选C。

8. [2024·唐山二中月考]已知 i 为虚数单位，关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( 6 + \mathrm { i } ) x + 9 + a \mathrm { i } = 0 ( a \in $ $ \mathbf { R } ) $ 有实数根 $ b $。
(1)求实数 $ a , b $ 的值；
(2)若复数 $ z $ 满足 $ | \overline { z } - a - b \mathrm { i } | - 2 | z | = 0 $，求 $ z $ 为何值时，$ | z | $ 有最小值，并求出 $ | z | $ 的最小值。

答案：
8.
(1)因为b是方程x² - (6 + i)x + 9 + ai = 0(a∈R)的实数根，所以(b² - 6b + 9) + (a - b)i = 0，
所以$\begin{cases}b^2 - 6b + 9 = 0\\a - b = 0\end{cases}$，解得a = b = 3。
(2)设z = x + yi(x,y∈R)，由|z - 3 - 3i| = 2|z|，
得(x - 3)² + [-(y + 3)]² = 4(x² + y²)，即$\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 1)^2}$ = 2$\sqrt{2}$，
它表示复数z对应的点Z到点(- 1, 1)的距离为2$\sqrt{2}$，构成的图形是以O₁(- 1, 1)为圆心，2$\sqrt{2}$为半径的圆，
当点Z在OO₁所在的直线上时，|z|有最大值或最小值。因为|OO₁| = $\sqrt{2}$，半径r = 2$\sqrt{2}$，所以当z = 1 - i时，|z|有最小值，且|z|ₘᵢₙ = $\sqrt{2}$。