《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

串题
如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 $1$,$A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$ 均为网格线的交点。
(1)如图①,连接 $EF$,交 $AC$ 于点 $O$。①$\frac{OA}{OC}= \frac{DF}{(CF)}= $$\frac{1}{2}$,$\frac{OE}{OF}= $$\frac{1}{2}$；②写出图中所有与 $\triangle AOE$ 相似的三角形(用相似符号连接)：△COF∽△AOE,△ACB∽△AOE,△CAD∽△AOE；③$\triangle AOE$ 与 $\triangle COF$ 的周长比为1:2；④$S_{\triangle AOE}:S_{\triangle COF}= $1:4,$S_{\triangle COF}:S_{\triangle CAD}= $4:9,$S_{\triangle COF}:S_{四边形BEFC}= $1:3。

(2)如图②,$P$,$Q$ 也为网格线的交点,连接 $PC$,$PF$,$QB$,$QE$。①$\triangle BEQ$ 与 $\triangle PCF$ 相似吗？若相似,请用两种不同的方法证明；

②$\triangle BEQ$ 的边 $BQ$ 上的高 $h_1$ 与 $\triangle PCF$ 的边 $PF$ 上的高 $h_2$ 的比为$\sqrt{2}:1$；③$\angle P+\angle Q= $45$^{\circ}$。
(3)如图③,以点 $D$ 为位似中心,在网格中画出 $\triangle FCP$ 的位似图形 $\triangle F'C'P'$,使它与 $\triangle FCP$ 的相似比为 $2$。

答案：
(1)①CF $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ②△COF∽△AOE,△ACB∽△AOE,△CAD∽△AOE ③1:2 ④1:4 4:9 1:3
(2)①△BEQ∽△PCF.证明略. ②$\sqrt{2}:1$ ③45
(3)图略.