《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

11. 如图,延长矩形$ABCD的边BC至点E$,使$CE = BD$,连接$AC$,$AE$.若$∠ADB = 30^{\circ}$,则$∠E$的度数为15°.

答案： 15°

12. 新考向 尺规作图 [2025·苏州期末]如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$D是边AB$的中点,以点$C$为圆心,$CD$的长为半径画弧,与线段$BD相交于另一点E$,连接$CE$.若$∠A = ∠DCE$,则$∠A$的度数为______.

36°

答案： 36°

13. 如图,四边形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,$BC$,$EO为矩形BECO$的对角线,$BC // AD$,$AD = EO$.
(1)求证：四边形$ABCD$是菱形；

(2)连接$DE$,若$AC = 4$,$∠BCD = 120^{\circ}$,求$DE$的长.

答案：
(1)提示:利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明.
(2)解:DE=2$\sqrt{13}$.

14. 如图①,在矩形$ABCD$中,$AB = 5$,$AD = 12$,对角线$AC与BD相交于点O$,$E为BC$边上的一个动点,$EF ⊥ AC$,$EG ⊥ BD$,垂足分别为$F$,$G$,则$EF + EG = $$\frac{60}{13}$.

【延伸设问】如图②,若点$E在BC$的延长线上,其他条件不变,作$CH ⊥ BD于点H$,则$EF$,$EG$,$CH$满足的数量关系为EF=EG-CH.

答案： $\frac{60}{13}$【延伸设问】EF=EG-CH

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$BC = 18$,$BD \perp AC于点D$,$CE \perp AB于点E$,连接$DE$,$F$,$G分别为BC$,$DE$的中点。若$DE = 10$,则$FG$的长为$2\sqrt{14}$。

答案： $2\sqrt{14}$

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是高,$CE$是中线,$DC = BE$,$DG \perp CE于点G$。
(1)求证：$G是CE$的中点；
(2)若$\angle B = 70^{\circ}$,则$\angle BCE$的度数为$35^{\circ}$。

答案：
(1)证明:如图，连接DE.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∵CE是△ABC的中线，
∴E是AB的中点.
∴$DE=\frac{1}{2}AB=BE$.
∵DC=BE,
∴DE=DC.
　又
∵DG⊥CE,
∴G是CE的中点.
(2) $35^{\circ}$