《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

9. 已知△ABC 的三边长分别为 4,6,8,△A′B′C′其中一边的长为 2,若要使△ABC∽△A′B′C′,则△A′B′C′其他两边的长分别为3,4 或$\frac{4}{3},\frac{8}{3}$或$1,\frac{3}{2}$。

答案： 3,4 或$\frac{4}{3},\frac{8}{3}$或$1,\frac{3}{2}$

10. 新考向 传统文化·中国象棋 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似,则“马”应落在
(B)

A.①处
B.②处
C.③处
D.④处

答案： B

11. 如图,在△ABC 中,∠B = 90°,点 D,E 在 BC 上,且 AB = BD = DE = EC。求证：
(1)△ADE∽△CDA；
(2)∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°。
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答案：
(1)提示:证明$\frac{AD}{CD}=\frac{DE}{DA}=\frac{AE}{CA}$.
(2)证明:$\because \triangle ADE \backsim \triangle CDA$,$\therefore \angle EAD=\angle 3$.$\because \angle B=90^{\circ}$,$AB=BD$,$\therefore \angle 1=45^{\circ}$.又$\because \angle 1=\angle 2+\angle EAD$,$\therefore \angle 2+\angle 3=45^{\circ}$.$\therefore \angle 1+\angle 2+\angle 3=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$.

12. 新考向 类比探究 学习“探索三角形相似的条件”后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验,继续探索两个直角三角形相似的条件。
(1)“对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”。类似地,可以得到“对于两个直角三角形,满足一个锐角对应相等或两直角边对应成比例,两个直角三角形相似”。
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”。类似地,可以得到“满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”。
(3)对于(2),请结合下列所给图形,写出已知,并完成证明过程。
已知：如图,在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中,$AB$,$A'B'$为斜边,且$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$。
求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′。
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证明:设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,则$AB=kA'B'$,$AC=kA'C'$.在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中,$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=\sqrt{\frac{k^{2}A'B'^{2}-k^{2}A'C'^{2}}{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=k$,$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\therefore Rt\triangle ABC \backsim Rt\triangle A'B'C'$.

答案： 解:
(1)一个锐角对应相等 两直角边对应成比例
(2)斜边和一条直角边对应成比例
(3)在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中,$AB$,$A'B'$为斜边,且$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$证明:设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,则$AB=kA'B'$,$AC=kA'C'$.在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中,$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=\sqrt{\frac{k^{2}A'B'^{2}-k^{2}A'C'^{2}}{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=k$,$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\therefore Rt\triangle ABC \backsim Rt\triangle A'B'C'$.