《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

1. 如图,要使$□ ABCD$成为矩形,需添加的条件是(C)

A.$AB = BC$
B.$AC\perp BD$
C.$\angle 1+\angle 2 = 90^{\circ}$
D.$\angle 1= \angle 2$

答案： C

2. 如图,$D是\triangle ABC的边BC$(不含点$B$,$C$)上的一点,$DE// AB交AC于点E$,$DF// AC交AB于点F$。要使四边形$AFDE$是矩形,则在$\triangle ABC$中要增加的一个条件是∠A=90°。判定矩形的依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形。

答案： ∠A=90° 有一个角是直角的平行四边形是矩形

3. [教材 P16 随堂练习变式题]如图,在$□ ABCD$中,$M是BC$的中点,连接$MA$,$MD$,且$\angle MAD= \angle MDA$。求证：四边形$ABCD$是矩形。

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B+∠C=180°（平行四边形对边相等，邻角互补）。
∵M是BC中点，
∴BM=CM=1/2BC。
∵∠MAD=∠MDA，
∴MA=MD（等角对等边）。
在△ABM和△DCM中，
AB=CD，BM=CM，MA=MD，
∴△ABM≌△DCM（SSS）。
∴∠B=∠C。
∵∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=90°。
∵四边形ABCD是平行四边形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

4. 下列能够判定$□ ABCD$为矩形的是(D)
A.$AB = AD$
B.$AC\perp BD$
C.$AB = AC$
D.$AC = BD$

答案： D

5. 新考向 传统文化·俗语 我国古代有“不以规矩,不能成方圆”的俗语,人们把“规矩”当作几何名词,“规”是圆,“矩”是方。木艺活动课上,小明用四根细木条搭成一个四边形,若要判断这个四边形是否是矩形,可行的测量方案是(C)
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是否是$90^{\circ}$
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等

答案： C

6. [2024·绵阳三台县期末]如图,在$□ ABCD$中,点$E$,$F分别在BC$,$AD$上,$BE = DF$,$AC = EF$。求证：四边形$AECF$是矩形。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC。
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC。
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵AC=EF，
∴□AECF是矩形。

7. 如图,在$\triangle ABC$中,点$E在AC$上,$EF\perp AB于点F$,$EG\perp BC于点G$,则当$\angle B= $90$^{\circ}$时,四边形$BGEF$是矩形。

答案： 90

8. 如图,点$B在直线PC$上,$BD$,$BE分别是\angle ABC$,$\angle ABP$的平分线,且$AE\perp BE$,$AD\perp BD$,垂足分别为$E$,$D$。求证：四边形$AEBD$是矩形。

答案： 答题
证明：
1. 由于 $AE \perp BE$，$AD \perp BD$，
$\therefore \angle AEB = \angle ADB = 90°$。
2. 由于点 $B$ 在直线 $PC$ 上，
$\therefore \angle PBC = 180°$。
3. 由于 $BD$、$BE$ 分别是 $\angle ABC$、$\angle ABP$ 的平分线，
$\therefore \angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC$，$\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABP$。
4. $\angle EBD = \angle ABE + \angle ABD = \frac{1}{2} (\angle ABP + \angle ABC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
5. 因此，$\angle AEB = \angle ADB = \angle EBD = 90°$，
$\therefore$ 四边形 $AEBD$ 是矩形。