《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

11. [T7 变式][2024·绥化中考]小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是 $6$ 和 $1$；小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是 $-2$ 和 $-5$,则原来的方程化为二次项系数为 $1$ 的方程是(B)
A.$x^{2}+6x + 5 = 0$
B.$x^{2}-7x + 10 = 0$
C.$x^{2}-5x + 2 = 0$
D.$x^{2}-6x - 10 = 0$

答案： B

12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-8x + m = 0$ 的两根为 $x_{1},x_{2}$,且 $x_{1}= 3x_{2}$,则 $m$ 的值为(C)
A.$4$
B.$8$
C.$12$
D.$16$

答案： C

13. [整体思想][2024·烟台中考]若一元二次方程 $2x^{2}-4x - 1 = 0$ 的两根为 $m,n$,则 $3m^{2}-4m + n^{2}$ 的值为6。

答案： 6

14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2(k - 1)x + k^{2}+3 = 0$ 有两个实数根。
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根 $x_{1},x_{2}$ 满足 $(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 14$,求 $k$ 的值。

答案： 解:
(1)$k≤-1$.
(2)$k=-2$.

15. 新考向 阅读理解·解题方法型 状状同学在学习“一元二次方程”时做过这样一道题：
已知实数 $a,b$ 分别满足 $a^{2}-2a - 1 = 0,b^{2}-2b - 1 = 0$,且 $a\neq b$,求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的值。
解：根据题意,得 $a,b$ 为一元二次方程 $x^{2}-2x - 1 = 0$ 的两个根,
所以 $a + b = 2,ab= -1$。
所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}= \frac{a + b}{ab}= \frac{2}{-1}= -2$。
请参考状状同学解题的过程,解答下列问题。
(1)已知实数 $m,n$ 满足 $7m^{2}-7m - 1 = 0,7n^{2}-7n - 1 = 0$,且 $m\neq n$,求 $m^{2}n + mn^{2}$ 的值；
(2)[分类讨论]已知实数 $a,b$ 分别满足 $a^{2}-6a + 4 = 0,b^{2}-6b + 4 = 0$,求 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 的值。

答案： 解:
(1)$m^{2}n+mn^{2}=-\frac{1}{7}$.
(2)$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为2或7.