《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

9. 新考向 动手操作 在九年级数学志趣课活动中,老师将矩形纸片 $ABCD$ 按如图方式折叠,使点 $A$ 落在 $BC$ 上的点 $F$ 处,折痕为 $BE$。若沿 $EF$ 剪下,则折叠部分展开后是一个正方形,其数学原理是有一组邻边相等的矩形是正方形。
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答案： 有一组邻边相等的矩形是正方形

10. 新考向 情境题·千斤顶 如图①是一个千斤顶,其简化的示意图如图②所示,该千斤顶的基本形状是菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变 $\angle ADC$ 的大小,从而改变千斤顶的高度(即点 $A$,$C$ 之间的距离)。已知 $AB = 50 cm$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,当千斤顶升高约21$cm$ 时,四边形 $ABCD$ 为正方形。(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$,结果保留整数)
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答案： 21

11. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle CAB = 90^{\circ}$,$AD$ 是 $BC$ 边上的中线,以 $AD$,$CD$ 为邻边作 $□ ADCF$,连接 $BF$ 分别与 $AD$,$AC$ 相交于点 $E$,$G$。
(1) 当 $\triangle ABC$ 满足什么条件时,四边形 $ADCF$ 是正方形？请说明理由。
(2) 在(1)的条件下,若 $AB = 6\sqrt{2}$,求 $EF$ 的长。
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答案：
(1)当△ABC满足AC=AB时,四边形ADCF为正方形.理由略.　
(2)EF=3√5.

12. [几何探究]如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle BAM$ 和 $\angle ABN$ 是 $\triangle ABC$ 的两个外角,$AD$ 平分 $\angle BAM$,交 $\angle ABN$ 的平分线于点 $D$,过点 $D$ 分别作 $DE \perp CM$ 于点 $E$,$DF \perp CN$ 于点 $F$。
(1) 试猜想四边形 $CEDF$ 的形状,并证明你的结论；
(2) 若 $AE = BF$,求证：$AC = \sqrt{2}AE$。
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答案：
(1)解:四边形CEDF是正方形.证明:如图，过点D作DG⊥AB于点G.
∵DE⊥CM,DF⊥CN,∠C=90°,
∴∠C=∠DEC=∠DFC=90°,
∴四边形CEDF是矩形.
∵AD平分∠BAM,BD平分∠ABN,DE⊥CM,DG⊥AB,DF⊥CN,
∴DE=DG,DF=DG,
∴DE=DF,
∴矩形CEDF是正方形.　
(2)证明:在Rt△DEA和Rt△DGA中，
∵AD=AD,DE=DG,
∴Rt△DEA≌Rt△DGA(HL),
∴AE=AG.同理可证BF=BG.
∵四边形CEDF是正方形，
∴CE=CF.
∵AE=BF,
∴CE−AE=CF−BF,即AC=BC.在Rt△ABC中,
∵AB²=AC²+BC²,即(AG+BG)²=AC²+BC²,
∴(AE+BF)²=AC²+BC²,
∴(2AE)²=2AC²,
∴AC=√2AE.