《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

1. [2025·周口郸城县期中]【问题呈现】
如图①,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,连接 BD,CE. 求证：BD = CE.
【类比探究】
如图②,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ABC = ∠ADE = 90°,连接 BD,CE. 请直接写出$\frac{BD}{CE}$的值.
【拓展提升】
如图③,△ABC 和△ADE 都是直角三角形,∠ABC = ∠ADE = 90°,且$\frac{AB}{BC}= \frac{AD}{DE}= \frac{3}{4}$,连接 BD,CE.
(1) 求$\frac{BD}{CE}$的值；
(2) 延长 CE 交 BD 于点 F,交 AB 于点 G. 求证：∠BFC = ∠BAC.

答案： 【问题呈现】提示:证明△BAD≌△CAE.
【类比探究】解:$\frac{BD}{CE}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
【拓展提升】
(1)解:$\because \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$.
又$\because \angle ABC=\angle ADE$,$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle ADE$,
$\therefore \angle BAC=\angle DAE$,$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$.
$\because \frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$,$\therefore DE=\frac{4}{3}AD$.
又$\because \angle ADE=90°$,
$\therefore AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{AD^2+\left(\frac{4}{3}AD\right)^2}=\frac{5}{3}AD$,
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$.$\because \angle DAE=\angle BAC$,
$\therefore \angle DAE-\angle BAE=\angle BAC-\angle BAE$,即$\angle BAD=\angle CAE$,
$\therefore \triangle CAE\backsim \triangle BAD$,$\therefore \frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$.
(2)证明:由
(1)得$\triangle CAE\backsim \triangle BAD$,$\therefore \angle ACE=\angle ABD$.
又$\because \angle AGC=\angle BGF$,$\therefore \angle BFC=\angle BAC$.

2. 【问题探究】
(1) 如图①,在△ABC 中,D,E 分别是边 BC,AB 的中点,AD,CE 相交于点 G. 求证：$\frac{GE}{CE}= \frac{GD}{AD}= \frac{1}{3}$.
【结论应用】
在□ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 为边 BC 的中点,AE,BD 相交于点 F.
(2) 如图②,若□ABCD 为正方形,且 AB = 6,求 OF 的长.
(3) 如图③,连接 DE 交 AC 于点 G. 若四边形 OFEG 的面积为$\frac{1}{2}$,直接写出□ABCD 的面积.

答案：

(1)证明:如图①,连接DE.
$\because D$,$E$分别是边$BC$,$AB$的中点,
$\therefore DE$是$\triangle ABC$的中位线,$\therefore DE// AC$,$DE=\frac{1}{2}AC$,
$\therefore \angle GED=\angle GCA$,$\angle GDE=\angle GAC$,
$\therefore \triangle DEG\backsim \triangle ACG$,
$\therefore \frac{GE}{GC}=\frac{GD}{GA}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$,$\therefore \frac{GE}{CE}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$.

(2)解:如图②,连接OE.
$\because$四边形$ABCD$为正方形,
$\therefore OA=OC$,$\therefore O$为$AC$的中点.
又$\because E$为边$BC$的中点,
$\therefore OE$是$\triangle ABC$的中位线.
同
(1)可得$\frac{OF}{OB}=\frac{1}{3}$,即$OF=\frac{1}{3}OB$.
在正方形$ABCD$中,$AB=6$,
$\therefore$易求得$OB=3\sqrt{2}$,$\therefore OF=\sqrt{2}$.
(3)解:$□ ABCD$的面积为6.