《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

10. 如图,把含 $30^{\circ}$角($\angle PMN = 30^{\circ}$)的直角三角尺 PMN 放置在正方形 ABCD 中,直角顶点 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上,点 M,N 分别在 AB 和 CD 边上,MN 与 BD 交于点 O。若 O 为 MN 的中点,则$\angle AMP$的度数为(C)

A.$60^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： C

11. [2025·宿州埇桥区期中]如图,在平面直角坐标系中,点 A,C,F 在坐标轴上,E 是 OA 的中点,四边形 AOCB 是矩形,四边形 BDEF 是正方形。若点 C 的坐标为(6,0),则点 D 的坐标为(B)

A.(2,4)
B.(2,6)
C.(2,2$\sqrt{3}$)
D.(2,2 + 2$\sqrt{3}$)

答案： B

12. 新考向 传统文化·方胜纹 [方程思想]“方胜纹”是由两个菱形互相压角穿插、相叠而成的纹样,寓意同心同德、同舟共济。如图,将正方形 ABCD 沿对角线 BD 方向平移得到正方形 $A'B'C'D'$,形成一个“方胜纹”图案,若 $BB' = AB$,$B'D = 2$,则正方形 ABCD 的边长为______。

$2\sqrt{2}+2$

答案： $2\sqrt{2}+2$

13. 如图,已知四边形 ABCD 是正方形,G 为 AD 边上任意一点,$CE\perp BG$于点 E,$DF\perp CE$于点 F。求证：$DF = BE + EF$。

提示:证明△BCE≌△CDF.

答案： 提示:证明△BCE≌△CDF.

14. 新考向 类比探究 【问题感知】如图①,在正方形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上一点,连接 PA,PC,点 E 在 AD 的延长线上,且 $PA = PE$,PE 交 CD 于点 F。
(1)若 $PE = 3$,则 $PC = $3；
(2)求$\angle CPE$的度数；
(3)【类比探究】如图②,把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD,其他条件不变,当$\angle ABC = 120^{\circ}$时,连接 CE,试探究线段 PA 与线段 CE 的数量关系,并说明理由。

答案： 解:
(1)3
(2)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°.
∴∠EDF=90°.
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠E.由正方形的轴对称性,可得∠DAP=∠DCP,
∴∠DCP=∠E.又
∵∠CFP=∠EFD,
∴∠CPE=∠EDF=90°.
(3)PA=CE.理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ADC=∠ABC=120°.由菱形的轴对称性,可得PC=PA,∠DAP=∠DCP.
∵PA=PE,
∴PC=PE,∠DAP=∠DEF.
∴∠DCP=∠DEF.又
∵∠CFP=∠EFD,
∴∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°.
∴△EPC是等边三角形.
∴PE=CE.又
∵PA=PE,
∴PA=CE.