《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

1. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 3x^{2}-3x = -1 $ 的根的情况是(A)
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定

答案： A

2. [新定义问题]定义新运算：$ m * n = m^{2}-mn - 3 $,例如：$ 2 * 3 = 2^{2}-2×3 - 3 = -5 $。则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x * a = 1 $ 的根的情况是(B)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： B

3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx + m - 2 = 0 $。
(1) 若此方程的一个根为 $ 2 $,求 $ m $ 的值；
(2) 求证：无论 $ m $ 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根。

答案：
(1)解:$m=-\frac{2}{3}$.
(2)证明:对于方程$x^{2}+mx+m-2=0$,
这里$a=1$,$b=m$,$c=m-2$,所以$\Delta =b^{2}-4ac=m^{2}-4× 1×(m-2)=m^{2}-4m+8=(m-2)^{2}+4$.
因为$(m-2)^{2}\geqslant0$,所以$(m-2)^{2}+4＞0$,
所以无论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.

4. [2025·新乡延津县期末]若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-x + m = 0 $ 没有实数根,则 $ m $ 的值可以是(A)
A.$ 1 $
B.$ 0 $
C.$ -1 $
D.$ -2 $

答案： A

5. [2024·淮安中考]若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + k = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ k $ 的取值范围是(D)
A.$ k \geq 4 $
B.$ k ＞ 4 $
C.$ k \leq 4 $
D.$ k ＜ 4 $

答案： D

6. [2024·河南中考]若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{1}{2}x^{2}-x + c = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ c $ 的值为$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$

7. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (k + 2)x^{2}-3x + 1 = 0 $ 有实数根,那么 $ k $ 的取值范围是 $k\leqslant\frac{1}{4}$且$k\neq-2$。

答案： $k\leqslant\frac{1}{4}$且$k\neq-2$

[变式题] [易错变式]若关于 $ x $ 的方程 $ (k + 2)x^{2}-2x - 1 = 0 $ 有实数根,则实数 $ k $ 的取值范围是 $k\geqslant-3$。

答案： $k\geqslant-3$

8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a + b)x^{2}+2cx + (b - a) = 0 $,其中 $ a $,$ b $,$ c $ 分别为 $ \triangle ABC $ 三边的长。
(1) 如果 $ x = -1 $ 是方程的根,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由。

答案：
(1)$\triangle ABC$是等腰三角形,理由略.
(2)$\triangle ABC$是直角三角形,理由略.