《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

串题
在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点O。
一题串联
(1)如图①,在$□ ABCD$中,$M是OB$上一点,$N是OD$上一点,$BM = DN$,连接$AM$,$CM$,$AN$,$CN$。

①请你添加一个条件,使四边形$AMCN$为菱形,并说明理由；
②在①的条件下,若$\angle MAN = 60^{\circ}$,$AM = 2$,则$OA = $$\sqrt{3}$,$OM = $1；
③在①的条件下,若$AC = 8$,$MN = 6$,则四边形$AMCN$的周长为20,面积为24。
(2)如图②,已知$\angle OBC = \angle OCB$。

①求证：$□ ABCD$是矩形；
②若$BD = 10$,则$AC = $10,$OD = $5；
③若$\angle AOB = 60^{\circ}$,则$\angle CAD = $30$^{\circ}$；
④若$\triangle BCD的周长与\triangle AOD的周长之差为6$,则$CD = $6；
⑤若$AD = 4$,$AB = 3$,$P是边AD$上一点,则点$P到对角线AC$,$BD$的距离之和为2.4。
(3)①在(2)的条件下,若$AB = BC$,则四边形$ABCD$是正方形；
②如图③,在边长为$1的正方形ABCD$中,$E$,$F分别是边BC$,$CD$上的动点,连接$AE$,$BF$,若$BE = DF$,求$AE + BF$的最小值。

解:如图③,连接AF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=1,∠ABE=∠ADF=90°.
又
∵BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS).
∴AE=AF.
∴AE+BF=AF+BF.
作点A关于CD的对称点A'，连接A'F,可知AF+BF=A'F+BF.再连接A'B与CD交于点F',连接AF',则AA'=2AD=2×1 =2,此时AF'+BF'=A'F'+BF'=A'B,即为AF+BF的最小值.
由勾股定理,得A'B=$\sqrt{AA'^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
∴AE+BF的最小值为$\sqrt{5}$.

答案：
(1)①解:添加条件AM=CM.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
又
∵BM=DN,
∴OB−BM=OD−DN,即OM=ON.
∴四边形AMCN是平行四边形.
又
∵AM=CM,
∴□AMCN是菱形.(答案不唯一)
②$\sqrt{3}$　1　③20　24
(2)①证明:
∵∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∴AC=2OC,BD=2OB.
∴AC=BD.
∴□ABCD是矩形.
②10　5　③30　④6　⑤2.4
(3)①正方形
②解:如图③,连接AF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=1,∠ABE=∠ADF=90°.
又
∵BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS).
∴AE=AF.
∴AE+BF=AF+BF.
作点A关于CD的对称点A'，连接A'F,可知AF+BF=A'F+BF.再连接A'B与CD交于点F',连接AF',则AA'=2AD=2×1 =2,此时AF'+BF'=A'F'+BF'=A'B,即为AF+BF的最小值.
由勾股定理,得A'B=$\sqrt{AA'^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
∴AE+BF的最小值为$\sqrt{5}$.