《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

10. 如图,四边形 $ABCD$ 是菱形,$O$ 是两条对角线的交点,过点 $O$ 的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分。若菱形的两条对角线的长分别是 4 和 6,则阴影部分的面积为(B)

A.3
B.6
C.12
D.24

答案： B

11. [2024·无锡二模]如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AD // BC$,$\angle A = 90^{\circ}$,$BD = BC$,$E$ 为 $CD$ 的中点,射线 $BE$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$,连接 $CF$。若 $AD = 1$,$CF = 2$,则 $BF = $2√3。

答案： 2√3

12. 新考向 动手操作 小梦毕业的时候,折了一盒千纸鹤送给她的朋友。在折叠千纸鹤时,其中某一步需要将如图所示的菱形纸片 $ABCD$ 分别沿 $AM$,$AN$ 所在直线进行折叠,使得菱形的两边 $AB$,$AD$ 与 $AO$ 重合。若 $\angle MON = 88^{\circ}$,则 $\angle AMO = $33°。

答案： 33°

13. 如图,在 $\mathrm{Rt} \triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$BC = 2\sqrt{3}$,$E$,$F$ 分别为 $AB$,$AC$ 的中点,过点 $B$ 作 $AC$ 的平行线与 $FE$ 的延长线交于点 $D$,连接 $BF$,$AD$。(1)求证：四边形 $ADBF$ 为菱形；

(2)若 $\angle C = 30^{\circ}$,求四边形 $ADBC$ 的面积。

答案：
(1)提示:利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明.
(2)解:四边形 ADBC 的面积为3√3.

14. [几何探究]如图,在边长为 10 的菱形 $ABCD$ 中,对角线 $BD = 16$,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $G$,$O$ 是对角线 $BD$ 上的动点,$OE \perp AB$ 于点 $E$,$OF \perp AD$ 于点 $F$。(1)求对角线 $AC$ 的长及菱形 $ABCD$ 的面积。
(2)当点 $O$ 在对角线 $BD$ 上运动时,$OE + OF$ 的值是否发生变化？请说明理由。

答案： 解:
(1)
∵四边形 ABCD 是菱形,边长为 10,对角线 BD=16,
∴AB=10,AG=CG,AC⊥BD,BG=1/2BD=1/2×16=8. 由勾股定理,得 AG=√(AB²-BG²)=√(10²-8²)=6,
∴AC=2AG=2×6=12,
∴S_菱形ABCD=1/2AC·BD=1/2×12×16=96.
(2)OE+OF 的值不发生变化.理由略.