《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

[2024·河南中考]如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ CD $ 是斜边 $ AB $ 上的中线,$ BE // DC $ 交 $ AC $ 的延长线于点 $ E $.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作 $ \angle ECM $,使 $ \angle ECM = \angle A $,且射线 $ CM $ 交 $ BE $ 于点 $ F $(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)证明(1)中得到的四边形 $ CDBF $ 是菱形.

答案：

(1)解:如图所示.

(2)证明:由
(1)得∠ECF=∠A,
∴CF//AB.
∵BE//DC,
∴四边形CDBF是平行四边形.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=BD,
∴□CDBF是菱形.

1. 如图,已知四边形 $ ABCD $ 是平行四边形.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边 $ AD $ 上找一点 $ E $,使 $ EC $ 平分 $ \angle BED $,并加以说明；
(2)在(1)的条件下,若 $ BC = \sqrt{5} $,$ AB = 1 $,添加条件 $ AE = $2时,$ □ ABCD $ 为矩形,并说明理由.

答案：
(1)略.
(2)2　理由略.

2. 如图,$ AC $ 是菱形 $ ABCD $ 的一条对角线,点 $ B $ 在射线 $ AE $ 上.
(1)请用尺规把这个菱形补充完整(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)若 $ AC = 6\sqrt{3} $,$ \angle CAB = 30^{\circ} $,求菱形 $ ABCD $ 的面积.

答案：
(1)图略.
(2)菱形ABCD的面积为18$\sqrt{3}$.

3. 将如图所示的矩形纸片 $ ABCD $ 折叠,使得点 $ D $ 落在 $ AB $ 边上的点 $ M $ 处,折痕经过点 $ C $,与边 $ AD $ 交于点 $ N $.
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作点 $ N $,$ M $(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)若 $ AB = 10 $,$ AD = 8 $,求 $ AN $ 的长.

答案：
(1)图略.
(2)AN的长为3.