《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

10. 如图,平行于正多边形一边的直线,把正多边形分割成两部分,则多边形(阴影部分)与原正多边形相似的是(A)
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答案： A

11. 将图①中矩形的宽拉长 $2x$,长拉长 $x$,得到图②中的矩形。若两个矩形相似,则 $x$ 的值是(A)

A.3
B.4
C.5
D.6
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答案： A

12. [教材 P88 习题 T3 变式题]如图,在正方形 $ABCD$ 中,$E$ 是对角线 $BD$ 上的一点,$BE = BC$,过点 $E$ 作 $EF\perp AB$,$EG\perp BC$,垂足分别为 $F$,$G$,则正方形 $FBGE$ 与正方形 $ABCD$ 的相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
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答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

13. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$EF// AB// DC$,$AB = 9$,$DC = 4$。若 $EF$ 把原四边形分成的两个小四边形相似,则 $EF$ 的长为6。
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答案： 6

14. 新考向 情境题·书画装裱 书画经装裱后更便于收藏。如图,画卷 $ABCD$ 是长为 $90\mathrm{cm}$,宽为 $30\mathrm{cm}$ 的矩形,装裱后整幅画为矩形 $A'B'C'D'$,两矩形的对应边互相平行,且 $AB$ 与 $A'B'$ 的距离,$CD$ 与 $C'D'$ 的距离都等于 $4\mathrm{cm}$。当 $AD$ 与 $A'D'$ 的距离,$BC$ 与 $B'C'$ 的距离都等于 $a\mathrm{cm}$,且矩形 $ABCD$ 与矩形 $A'B'C'D'$ 相似时,求 $a$ 的值。
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答案： 解:a的值为12.

15. 新考向 动手操作 四边形 $ABCD$ 是一张矩形纸片,将其按如图所示的方式折叠,使 $AD$ 边落在 $CD$ 边上,点 $A$ 落在点 $H$ 处,折痕为 $DE$；使 $BC$ 边落在 $CD$ 边上,点 $B$ 落在点 $G$ 处,折痕为 $CF$。若矩形 $HEFG$ 与原矩形 $ABCD$ 相似,$AD = 1$,求 $CD$ 的长。
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答案： 解:设HG=x.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADH=90°,BC=AD=1.由折叠,得∠A=∠DHE=90°,DH=AD=1,CG=BC=1,
∴四边形ADHE是矩形,CD=DH+HG+CG=2+x.
∴HE=AD=1.
∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似,
∴$\frac{HG}{AD}=\frac{HE}{CD}$.
∴$\frac{x}{1}=\frac{1}{2+x}$,解得x=$\sqrt{2}-1$(负值已舍去).经检验,x=$\sqrt{2}-1$是原方程的根.
∴CD=2+x=$\sqrt{2}+1$.