《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

1. [2024·郑州管城区期末]如图,不能判定△AOB和△DOC相似的条件是(D)

A.OA·OC = OD·OB
B.∠B = ∠C
C.∠A = ∠D
D.$\frac{AB}{OA}= \frac{DC}{OD}$

答案： D

2. 如图,在四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,且$\frac{AB}{AC}= \frac{AE}{AD}= \frac{BE}{CD}$。若∠DAE = 22°,则∠BAD的度数为44°。

答案： 44°

3. 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED = ∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且$\frac{AD}{AC}= \frac{DF}{CG}$。若$\frac{AD}{AC}= \frac{1}{2}$,则$\frac{AF}{FG}$的值为1。

答案： 1

4. 如图,O是菱形ABCD的对角线BD上一点,且OC = OD。求证：$CD^2 = OD·BD。$

答案： 提示:证明△CDO∽△BDC.

5. 如图,在四边形ABCD中,∠ACB = ∠ADB,延长AD,BC相交于点E。求证：
(1) △ACE∽△BDE；
(2) BE·CD = AB·DE。

答案： 提示:
(1)利用两角分别相等的两个三角形相似进行证明.
(2)证明△ABE∽△CDE.

6. [教材P102习题T4变式题]如图,在矩形ABCD中,AB = 10 cm,BC = 20 cm,两只小虫P和Q分别从点A,B同时出发,沿AB,BC向终点B,C方向前进。小虫P每秒走1 cm,小虫Q每秒走2 cm。请问：它们同时出发后经过多少秒,以P,B,Q为顶点的三角形与以A,B,C为顶点的三角形相似？

答案： 解:设两只小虫同时出发后经过的时间为x s,分两种情况讨论:
①由于∠PBQ=∠ABC,当$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$时,有△PBQ∽△ABC,此时$\frac{10-x}{10}=\frac{2x}{20}$,解得x=5;
②由于∠PBQ=∠CBA,当$\frac{PB}{CB}=\frac{BQ}{BA}$时,有△PBQ∽△CBA,此时$\frac{10-x}{20}=\frac{2x}{10}$,解得x=2.
综上所述,它们同时出发后经过5 s或2 s,以P,B,Q为顶点的三角形与以A,B,C为顶点的三角形相似.